Reihe mit Binomialkoeffizient

29.12.2005, 11:08

Sunwater

Reihe mit Binomialkoeffizient

Hi...

ich hab folgende Reihe:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=m}^\infty~{\begin{pmatrix} n \\ m \end{pmatrix}p^m(1-p)^{n-m}} \end{eqnarray*}$

und soll zeigen, dass sie für $\begin{eqnarray*} 0 < p < 2 \end{eqnarray*}$ konvergiert und das der Wert der Reihe unabhängig von der Wahl von m ist.

hab alles mit m erstmal vorgezogen:

$\begin{eqnarray*} (\frac{p}{1-p})^m * \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum_{n=m}^{\infty}~{\begin{pmatrix} n \\ m \end{pmatrix} (1-p)^n} \end{eqnarray*}$

jetzt hätte ich die Reihe als Potenzreihe angesehen und somit:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} { \sqrt[n]{\begin{pmatrix} n \\ m \end{pmatrix}}} = 1 \end{eqnarray*}$ (?) => Konvergenzradius = 1.

aber was heißt das jetzt?
erstens hat ja ne Potenzreihe nicht die Form $\begin{eqnarray*} ...(1-p)^n \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} ...(p-1)^n \end{eqnarray*}$ oder?

naja und wegen der unabhängigkeit von m weiß ich auch nicht...
gibt es einen schlauen Mathematiker der herausbekommen hat, wie die Summe dieser Reihe ist?

danke schonmal, Sunwater

29.12.2005, 11:25

Auf diesen Beitrag antworten »

Konvergenzradius 1 heißt in diesem Fall hier, dass die Reihe für alle $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |1-p|<1 \end{eqnarray*}$ konvergiert. Was willst du mehr? Augenzwinkern

Jetzt geht es nur noch um die Berechnung des eigentlichen Reihenwertes. Da gibt es mehrere Möglichkeiten - z.B. kannst du nutzen, dass eine Potenzreihe innerhalb des Konvergenzintervalls gliedweise differenzierbar ist.

29.12.2005, 11:28

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Konvergenzradius 1 heißt einfach, dass die Reihe für alle $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |1-p|<1 \end{eqnarray*}$ konvergiert.
Um den Reihenwert zu berechnen, könntest du z.B. mehrere Male integrieren, falls du das schon kennst/darfst. Ansonsten müsste man sich was anderes überlegen ... .

Gruß MSS

edit: Zu langsam ...

29.12.2005, 11:53

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Unterstellt, der Reihenwert ist von $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ unabhängig, kann man doch speziell $\begin{eqnarray*} m=0 \end{eqnarray*}$ wählen. Der Reihenwert läßt sich dann simpel berechnen. Wenn man den schon einmal kennt, kann man jetzt die Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ nachzuweisen versuchen.

29.12.2005, 13:18

Sunwater

Auf diesen Beitrag antworten »

cool, das mit dem Konvergenzradius schafft etwas Klarheit...

weil bis jetzt hatten wir das nur theoretisch und noch nie an einem Beispiel gesehen...

werd den Tipp von Leopold mal versuchen...

und was ich mir auch noch überlegt habe:

ist eigentlich

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} {\begin{pmatrix} n \\ m \end{pmatrix}} = 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ?

29.12.2005, 13:23

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Sunwater
ist eigentlich

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} {\begin{pmatrix} n \\ m \end{pmatrix}} = 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ?

Das ist quatsch.

29.12.2005, 13:31

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

ist eigentlich

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} {\begin{pmatrix} n \\ m \end{pmatrix}} = 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ?

Es gibt ja das Pascalsche Dreieck, an dem man sich die Binomialkoeffizienten gut vorstellen kann.
Für m=n oder m=0 stimmt der Limes, für alle anderen m ist das falsch.

30.12.2005, 09:47

Sunwater

Auf diesen Beitrag antworten »

*g* - gut in den Ferien ist man einfach nicht auf der Höhe...

aber nochmal zur eigentlichen Aufgabe:

durch m=0 setzen habe ich jetzt raus, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=m}^\infty~{\begin{pmatrix} n \\ m \end{pmatrix}*(1-p)^n = \frac{(p-1)^m}{p^{m+1}}} \end{eqnarray*}$

hab jetzt per Induktion versucht das zu beweisen, aber das ist irgendwie ziemlich hart...

ansonsten wüsste ich nicht, ob man noch irgendwelche Umformungen machen kann? ( das hat ja doch irgendwie die Struktur der Summe einer geometrischen Reihe - bloß halt reziprok und mit hoch m )

achso - integrieren darf ich nicht...

30.12.2005, 10:00

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Warum setzt du rechts nicht auch $\begin{eqnarray*} m=0 \end{eqnarray*}$ ein. Dann erhältst du sofort $\begin{eqnarray*} \frac{1}{p} \end{eqnarray*}$ als Reihenwert.

Und jetzt differenzierst du $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ -mal die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~(1-p)^n \ = \ \frac{1}{p} \end{eqnarray*}$

Ich fange einmal an.

erstmaliges Ableiten:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~n \cdot (-1)\cdot (1-p)^{n-1} \ = \ - \frac{1}{p^2} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ durchmultiplizieren:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~n \cdot (1-p)^{n-1} \ = \ \frac{1}{p^2} \end{eqnarray*}$

nochmaliges Ableiten:

...

Und wenn du das $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ -mal gemacht hast, mußt du noch mit $\begin{eqnarray*} \frac{p^m}{m!} \end{eqnarray*}$ durchmultiplizieren.

03.01.2006, 15:16

Sunwater

Auf diesen Beitrag antworten »

den Reihenwert habe ich ja schon längst raus - sonst wäre ich gar nicht drauf gekommen, welchen Wert die Summe haben müsste...

mein Problem ist bloß, dass ich das ohne Integrieren zeigen muss!!!

03.01.2006, 16:15

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, wenn das dein Problem ist, dem kann abgeholfen werden: Die betrachteten Reihen sind innerhalb des Konvergenzintervalls, also für alle $\begin{eqnarray*} 0<p<2 \end{eqnarray*}$ absolut konvergent, also können wir beliebig umordnen. Das nutzen wir, indem wir $\begin{eqnarray*} {n \choose m} = {n-1 \choose m-1} + {n-1 \choose m} \end{eqnarray*}$ einsetzen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=m}^\infty ~ {n \choose m} p^m (1-p)^{n-m} = \sum_{n=m}^\infty ~ {n-1 \choose m-1} p^m (1-p)^{n-m} + \sum_{n=m+1}^\infty ~ {n-1 \choose m} p^m (1-p)^{n-m} \end{eqnarray*}$

Jetzt noch ein bisschen Indexverschiebung und du bist am Ziel, wenn du das ganze ordentlich über vollständige Induktion aufschreibst.

05.01.2006, 10:05

Sunwater

Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe jetzt umgeformt bis:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=m}^\infty~{\begin{pmatrix} n-1 \\ m-1 \end{pmatrix}p^m(1-p)^{n-m}} + \frac{1-p}{p} \end{eqnarray*}$
aber ich bekomme den ersten Teil der Summe nicht so hin, dass ich wieder die Induktionsvorraussetzung einsetzen kann...

ich versuche immer

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n-1 \\ m-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}n \\m \end{pmatrix} * \frac{m}{n} \end{eqnarray*}$

zu setzen, aber ich kann ja aus der Summe nicht $\begin{eqnarray*} \frac{m}{n} \end{eqnarray*}$ rausziehen...

und eine Indexverschiebung berüht ja das m-1 im Binomialkoeffizient nicht...

theoretisch müsste die summe den Wert 1 haben, damit insgesamt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{p} \end{eqnarray*}$ rauskommt...

05.01.2006, 10:12

Auf diesen Beitrag antworten »

Zum ersten Summanden: Erstmal eine Indexverschiebung, also $\begin{eqnarray*} k=n-1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} n=k+1 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=m}^\infty ~ {n-1 \choose m-1} p^m (1-p)^{n-m} = \sum_{k=m-1}^\infty ~ {k \choose m-1} p^m (1-p)^{k-(m-1)} = p\sum_{k=m-1}^\infty ~ {k \choose m-1} p^{m-1} (1-p)^{k-(m-1)} \end{eqnarray*}$

Und jetzt müsste man rechts was sehen...

05.01.2006, 17:08

Sunwater

Auf diesen Beitrag antworten »

*g* - hab mit nem Freund drüber gehockt und da haben wir auch mitbekommen einfach mal k=m-1 zu setzen und dann haut das auch alles hin - ist doch immer wieder schön, wenn am Ende alles stimmt...

auf den Trick mit dem Aufspalten wäre ich trotzdem nicht gekommen...

danke!!!

Neue Frage »

Antworten »

Reihe mit Binomialkoeffizient

Verwandte Themen