Reyleigh Verteilung

09.05.2008, 10:01

fambo

Reyleigh Verteilung

Hallo,

ich komme aus dem Bereich Kommunikationstechnik und wir arbeiten oft mit einem Kanalmodell Namens Reyghleigh Modell.

Sinn und Zweck des ganzen ist es das Normalverteilte Rauschen der I und Q Komponente einer Quadraturmodulation zu modellieren.

Heißt also mathematisch, es gibt eine imaginäre Zufallsvariable und eine Reelle Zufallsvariable. Beide sind Normalverteilt. Der Betrag der resultierenden komplexen Zufallsvariable soll nun Reyghleigh Verteilt sein. Und genau das würd ich gern für mich einmal herleiten.

$\begin{eqnarray*} Z=\sqrt{a^2+(jb)^2} \end{eqnarray*}$

Wobei a und b Normalverteilt sind. Gibt es Rechenregeln für Verteilungsfunktionen mit denen ich das berechnen kann?

Vielen Dank für Hilfe. smile

09.05.2008, 15:09

Leopold

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Zu dieser Verteilung kann ich dir nichts sagen. Sind allerdings $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ zufällige Variable, so ist der Betrag von $\begin{eqnarray*} z = a + \operatorname{j}b \end{eqnarray*}$ definiert durch

$\begin{eqnarray*} z = \sqrt{a^2 + b^2} \end{eqnarray*}$

Überprüfe bitte deine Angaben (auch so "Kleinigkeiten" wie Groß- bzw. Kleinschreibung der mathematischen Größen). Wenn dir hier Fachleute helfen sollen, bedürfen sie vermutlich weiterer Informationen: Haben z.B. die Normalverteilungen von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ dieselben Parameter (Mittelwert, Standardabweichung)?

09.05.2008, 20:55

fambo

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Hallo,

ja bei dem Betrag gebe ich dir Recht. Okay ich formuliere neu.

$\begin{eqnarray*} z = \sqrt{a^2 + b^2} \end{eqnarray*}$

Wobei a und b zwei normalverteilte Zufallsvariablen mit den selben Parametern,
Mittelwert und Standardabweichung sind.

Der Betrag dieser Beiden Zahlen, $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ sollte nun Reyleigh Verteilt sein.

Wie kann ich das evtl herleiten?

Danke

10.05.2008, 14:15

Leopold

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Zitat:

Original von Leopold
so ist der Betrag von $\begin{eqnarray*} z = a + \operatorname{j}b \end{eqnarray*}$ definiert durch

$\begin{eqnarray*} z = \sqrt{a^2 + b^2} \end{eqnarray*}$

Da muß ich mich korrigieren: Ich kann ja wohl schlecht $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ als Name für die komplexe Zahl und ihren Betrag zugleich nehmen. Nehmen wir also $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ als Name für den Betrag von $\begin{eqnarray*} a + \operatorname{j}b \end{eqnarray*}$ .

Zu deiner Frage: Dieser Reyleigh (oder Reyghleigh? oder wie nun?) gibt doch dem Ding zunächst einmal nur einen Namen. Oder sehe ich das verkehrt?

11.05.2008, 15:49

fambo

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Was bist du eigentlich für ein nerviger Typ?
Du wusstest schon nach meinem ersten Post wovon ich rede. Wenn Du die Antwort auf meine Frage nicht weißt, dann lass es und lass Leute antworten, die sich auskennen.
Was hat das für einen Sinn, dass Du dich hier an Notationen und Formalien hochziehst.

11.05.2008, 19:55

Leopold

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Nun, ich kenne diese Verteilung wirklich nicht. Da du selbst offenbar nicht weißt, wie sie richtig heißt, sage ich kurz R-Verteilung. Ich war nun der Ansicht, daß diese R-Verteilung durch die Gleichung

$\begin{eqnarray*} Z = \sqrt{X^2 + Y^2} \end{eqnarray*}$

wo $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ unabhängig und normalverteilt sind, als R-Verteilung definiert wird, womit ja eigentlich alles gesagt ist. Aber vermutlich willst du eine Formel mit Integralen oder so etwas Ähnliches. Auch das kannst du haben.

Nehmen wir den einfachsten Fall, daß $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ unabhängige standardnormalverteilte Zufallsgrößen sind. Zu bestimmen ist dann $\begin{eqnarray*} P(Z \leq z) \end{eqnarray*}$ . Wenn $\begin{eqnarray*} z<0 \end{eqnarray*}$ ist, muß das offenbar 0 sein. Also nehmen wir $\begin{eqnarray*} z \geq 0 \end{eqnarray*}$ an. Dann gilt

$\begin{eqnarray*} Z \leq z \ \ \Leftrightarrow \ \ X^2 + Y^2 \leq z^2 \end{eqnarray*}$

Damit ist das Integrationsgebiet für das Produkt der Dichten der Kreis in der $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ -Ebene vom Radius $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ um den Ursprung. Mit Hilfe von Polarkoordinaten rechnet man

$\begin{eqnarray*} P(Z \leq z) = \frac{1}{2 \pi} \int_{x^2 + y^2 \leq z^2} \operatorname{e}^{- \frac{1}{2} \left( x^2 + y^2 \right)} ~ \mathrm{d}(x,y) = \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi}~\int_0^z~r \operatorname{e}^{- \frac{1}{2} r^2}~\mathrm{d}r~\mathrm{d}t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \int_0^z r \operatorname{e}^{- \frac{1}{2} r^2} ~ \mathrm{d}r = 1 - \operatorname{e}^{- \frac{1}{2} z^2} \end{eqnarray*}$

Und wenn die Größen nicht mehr standardnormalverteilt, dürfte eine Rechnung "von Hand" um einiges komplizierter werden. Vielleicht gibt es da irgendwelche Transformationstricks. Da mußt du dann warten, bis sich ein richtiger Stochastiker deines Problems annimmt.

War es das, was du gesucht hast?

P.S.
Wie man diesen Herrn R. schreibt, mag ja eine Formalie sein, was die Parameter der Verteilung sind und wie die Zufallsgröße genau definiert ist, wohl eher nicht.

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