Problem mit Inverse Matrix

29.12.2005, 16:25

David

Problem mit Inverse Matrix

Ich komme bei Aufgabe 1 momentan nicht weiter. Hier die Aufgabe:

http://www.idee-c.de/pics/m3.jpg

Den ersten Teil konnte ich lösen, beim zweiten Teil A^-1=1/2(...) komme ich nicht weiter.
Ich habe erst versucht die Inverse zu A über das Gauß Verfahren zu erstellen, leider schaff ich das nicht, daher hab ich abgebrochen und versucht die Inverse über Determinanten zu bestimmen. Siehe Blatt.

http://www.idee-c.de/pics/m2.jpg

Nur wenn ich jetzt den zweiten Teil beweisen bzw. folgern möchte, geht die Gleichung nicht auf, ich habe zwei verschiedene Inverse Matrizen, wie man sehen kann.

Hier der erste Teil der Aufgabe, der eigentlich richtig sein müsste.
http://www.idee-c.de/pics/m1.jpg

29.12.2005, 16:38

sqrt(2)

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RE: Problem mit Inverse Matrix
Ich verstehe zwar nicht so viel davon, aber so wie ich das sehe, sollst du die Inverse gar nicht bestimmen, sondern nur aus

$\begin{eqnarray*} A^2-3A+2E=0 \end{eqnarray*}$

folgern, dass

$\begin{eqnarray*} A^{-1}=\frac{1}{2}(3E-A) \end{eqnarray*}$ .

was einfach gehen sollte, indem du die Gleichung mit $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ multipliziertst und nach $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ umstellst.

29.12.2005, 17:20

thoroh

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RE: Problem mit Inverse Matrix
Ich bin mir nicht sicher, ob man hier einfach die Existenz der Inversen unterstellen und die Matrizengleichung mit ihr multiplizieren soll.
Man sieht die Lösung aber sehr leicht, wenn man die Gleichung ein wenig umformt, bis etwas in dieser Art herauskommt:

$\begin{eqnarray*} A ( ... ) = E \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (...) A = E \end{eqnarray*}$

Der Klammerausdruck ist dann $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$

29.12.2005, 18:57

David

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Ihr habt natürlich recht, stellt man die Gleichung um, so erhält man

E = A * ( 3/2 - 1/2*A )

wonach dann

( 3/2 - 1/2*A )

die Inverse ist, wie auch in der Aufgabe geschrieben. Ok, damit wäre der Teil auch gelöst. Vielen Dank euch beiden.

Aber kann mir einer vielleicht erklären, wo mein Fehler ist, weil ich ja 2 verschiedene Inverse rausbekomme. Wo liegt z.B. mein Fehler bei meinem Versuch mit dem Gauß Verfahren?

29.12.2005, 19:14

JochenX

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Zitat:

Original von David
Ihr habt natürlich recht, stellt man die Gleichung um, so erhält man

E = A * ( 3/2 - 1/2*A )

wonach dann

( 3/2 - 1/2*A )?

was ist denn 3/2? soll das 3/2*E sein?
genauer arbeiten!

hab mir deine rechnung nicht angeschaut, aber die inverse matrix ist (falls existent) eindeutig

29.12.2005, 19:36

David

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Ist das nicht das selbe? 3/2 bzw. 3/2*E.

Denn wenn man die Gleichung umstellt, gibt es gar kein E, daher müsste es doch stimmen.

Falls noch jemand Zeit findet sich mein Gauß Verfahren anzusehen, wäre das sehr nett.

29.12.2005, 19:44

sqrt(2)

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$\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}E=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}&0&0\\0&\frac{3}{2}&0\\0&0&\frac{3}{2}\end{pmatrix}\neq\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

... und was du mit

Zitat:

Original von David
Denn wenn man die Gleichung umstellt, gibt es gar kein E, daher müsste es doch stimmen.

meinst, ist mir unklar.

29.12.2005, 19:48

David

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aha ok. Aber wenn man die Gleichung nach E auflöst, wie ich oben, dann steht da kein 3/2*E sondern nur 3/2, weil man ja E auf die linke Seite bringt.

29.12.2005, 19:52

JochenX

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das liegt vermutlich daran, dass du haarsträubende dinge wie "dividieren" gemacht hast

multipliziere 3/2*E doch mal mit dem inversen der einheitsmatrix
ist das E danach weg!?

29.12.2005, 19:56

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David, du argumentierst falsch: Es gibt zwar Gleichungen

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}A = A \cdot \frac{3}{2}\qquad\mathrm{(Matrix = Matrix * Skalar)} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}A^2 = A \cdot \left(-\frac{1}{2}A\right)\qquad\mathrm{(Matrix = Matrix * Matrix)} \end{eqnarray*}$

Für deren Summe gibt es aber kein Distributivgesetz

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}A-\frac{1}{2}A^2 \stackrel{?}{=} A \cdot \left(\frac{3}{2}-\frac{1}{2}A\right)\qquad\mathrm{(Matrix = Matrix * (Skalar-Matrix) ???)} \end{eqnarray*}$ - Das ist einfach nur Unsinn!!!

29.12.2005, 20:04

JochenX

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Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}A-\frac{1}{2}A^2 \stackrel{?}{=} A \cdot \left(\frac{3}{2}-\frac{1}{2}A\right)\qquad\mathrm{(Matrix = Matrix * (Skalar-Matrix) ???)} \end{eqnarray*}$ - Das ist einfach nur Unsinn!!!

wenn mans aber richtig macht und erkennt, dass multiplikation mit c multiplikation mit c*E entspricht, dann kannst du "ausklammern", bzw. alles machen, was das distributivgesetz erlaubt
das *E macht natürlich nix

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}EA-\frac{1}{2}A^2 \stackrel{!}{=} \left(\frac{3}{2}E-\frac{1}{2}A\right) \cdot A \end{eqnarray*}$
in diesem falle könnte das "A*" natürlich auch links stehen, aber nur, wenn du es siehst, warum

nur als nachtrag

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