Reihe mit Parameter

29.12.2005, 17:42

manifold

Reihe mit Parameter

Hi!
Folgende Aufgabe:
Für welche $\begin{eqnarray*} \alpha\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ konvergiert die Reihe
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}\displaystyle \left(\alpha + \frac{1}{k} \right)^k \end{eqnarray*}$

Ist es so in Ordnung?

1) Sei $\begin{eqnarray*} \alpha\ge{0} \end{eqnarray*}$ , dann gilt die Abschätzung:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}\displaystyle \left(\alpha + \frac{1}{k} \right)^k\ge \sum_{k=1}^{\infty}\displaystyle{\alpha}^k \end{eqnarray*}$
Die letzte Reihe divergiert aber nur, wenn $\begin{eqnarray*} \alpha\ge{1} \end{eqnarray*}$ .
2) Sei $\begin{eqnarray*} \alpha<0 \end{eqnarray*}$ , dann haben wir für die dazugehörige absolute Reihe:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}\displaystyle |\left(\alpha + \frac{1}{k} \right)|^k\le \sum_{k=1}^{\infty}\displaystyle |\alpha|^k \end{eqnarray*}$
Die letzte absolute Reihe konvergiert nur, wenn $\begin{eqnarray*} -1<\alpha<1 \end{eqnarray*}$ . Wenn sie konvergiert, konvergiert also auch die Ausgangsreihe.
Aus 1) und 2) folgt, dass die Ausgangsreihe konvergiert, falls $\begin{eqnarray*} -1<\alpha<1 \end{eqnarray*}$

Ich bin mir unsicher, ob es so stimmt... Wink

29.12.2005, 18:08

Abakus

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RE: Reihe mit Parameter
Eine divergente Majorante nützt dir nichts (wenn du Divergenz zeigen willst, brauchst du eine divergente Minorante). Betrachte zB $\begin{eqnarray*} \alpha = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ . Das konvergiert doch?

29.12.2005, 19:04

manifold

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Oh ja stimmt...hab's verrafft.
Naja, dann haben wir eben sowas:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}\displaystyle \left(\alpha + \frac{1}{k} \right)^k\ge \sum_{k=1}^{\infty}{\alpha}^k \end{eqnarray*}$ Und die Reihe divergiert bei $\begin{eqnarray*} \alpha\ge{1} \end{eqnarray*}$ . Oder?
Ist zumindest 2) richtig?

29.12.2005, 19:16

Marcyman

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Sieht nach Wurzelkriterium aus.

29.12.2005, 19:44

manifold

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Ich glaub mit dem Wurzelkriterium klappt's in der Tat noch besser:
$\begin{eqnarray*} \lim\sup|\alpha+\frac{1}{k}|=|\alpha| \end{eqnarray*}$ Die Reihe konvergiert also, wenn $\begin{eqnarray*} -1<\alpha<1 \end{eqnarray*}$ Und bei alpha=1 ist ohnehin klar, dass die Ausgangsreihe divergiert.

29.12.2005, 19:49

20_Cent

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sieht gut aus.
mfG 20

29.12.2005, 19:59

Abakus

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Deine Abschätzung bei (2) stimmt und liefert dir für $\begin{eqnarray*} -1 < \alpha < 0 \end{eqnarray*}$ auch die (absolute) Konvergenz. Für $\begin{eqnarray*} \alpha \geq 1 \end{eqnarray*}$ hast du Divergenz. Damit sind allerdings noch nicht alle Alphas untersucht.

Die geometrische Reihe eignet sich gut als Vergleichsreihe, ja (Wurzelkriterium). Damit steht jetzt auch die (absolute) Konvergenz für $\begin{eqnarray*} -1 < \alpha < 1 \end{eqnarray*}$ da. Was liefert das Wurzelkriterium für $\begin{eqnarray*} \alpha < -1~ \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} \alpha = -1 \end{eqnarray*}$ musst du dann noch separat untersuchen (eine Möglichkeit ist das Leibniz-Kriterium). Hier liefert das Wurzelkriterium keine Aussage.

29.12.2005, 20:02

20_Cent

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Zitat:

Original von Abakus
Was liefert das Wurzelkriterium für $\begin{eqnarray*} \alpha < -1~ \end{eqnarray*}$ ?

dasselbe, wie für >1, oder nicht?
mfG 20

29.12.2005, 20:18

Abakus

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. Das sollte schon explizit hingeschrieben werden. Bleibt jetzt noch die -1 als zu untersuchen übrig.

30.12.2005, 10:35

manifold

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Ich hab immer noch ein komisches Gefühl, dass das viel zu einfach ist, wie es da oben steht. Ich weiß nicht...es gibt einfach viel zu viele Punkte auf die Aufgabe. Seid ihr sicher, dass da nichts fehlt, außer was da schon angemerkt wurde?

30.12.2005, 12:43

20_Cent

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das müsste so stimmen (vorrausgesetzt, ihr hattet das wurzelkriterium und dürft es in der aufgabe benutzen...)

wie hast du denn die -1 untersucht?
soo einfach ists ja nicht...
mfG 20

30.12.2005, 14:12

lego

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naja für -1 bringt man das ganze auf selben nenner, dann wieder wurzelkriterium, oder seh ich da was falsch, auch nicht so der mords aufwand

30.12.2005, 14:15

20_Cent

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das nützt dir nichts, da der grenzwert nach dem wurzelziehen dann 1 ist.
also keine aussage.
mfG 20

30.12.2005, 14:18

lego

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hast recht, bin ein dummbatz, war gerade der meinung, dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{k\to \infty} \frac{k-1}{k} =0 \end{eqnarray*}$

aber is ja 1 Hammer

vlt könnte man die harmonische reihe als divergente minorante betrachten, wenn man aus der obigen reihe ein minus rauszieht und das mal bei seite lässt

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