Monotonie einer Kurven-Parametrisierung

29.12.2005, 22:19	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Monotonie einer Kurven-Parametrisierung Moin, moin, Sei $\begin{eqnarray} \sigma (t):= \int_{a}^{t}~\|df\| \ \ , \ \ a \leq t \leq b \end{eqnarray}$ , die Bogenlängen-Funktion einer streckbaren Kurve ohne Doppelpunkte (Kreuzungen), d.h. f sei eine stetige, injektive Abbildung , mit einer endlichen Länge $\begin{eqnarray} L:= \mathcal L(f) \end{eqnarray}$ . ( [a,b] ---> [0,L] ist eine stetige und streng monotone Abbildung) Mittels der Umkehrfunktion $\begin{eqnarray} \tau := \sigma^{-1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g \circ \tau \end{eqnarray}$ erhält man eine Umparametrisierung von f, die $\begin{eqnarray} \|g(s_1)-g(s_2)\|\leq \|s_1 - s_2\| \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} s_1, s_2 \in I^ =[0,L] \end{eqnarray}$ erfüllt. Ansatz: Wenn man zeigen könnte, dass $\begin{eqnarray} s = \int_{0}^{s}~\|dg\| \ = \ \int_{0}^{s}~\|g^\prime (u)\|du \qquad \ \ \end{eqnarray}$ ist, und daraus $\begin{eqnarray} \|g^\prime (s)\|= 1 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} s \in [0,L] \end{eqnarray}$ gilt, was ja die Behauptung ist. Und um das zu zeigen ist meine Idee als Parametrisierung $\begin{eqnarray} c(t):=\|g^\prime(u)\|, \ \ \dot c(t)=1 \end{eqnarray}$ zu nehmen und irgendwie in ein Wegintegral $\begin{eqnarray} \int_{c}^{}~... \end{eqnarray*}$ einzusetzen. Verstehe die Umkehrung aber noch nicht. Hat jemand ein Anschauungsbeispiel für eine Parametrisierung nach der Bogenlänge und dessen Umkehrung? Dank & guten Rutsch, phi.
29.12.2005, 23:53	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie einer Kurven-Parametrisierung Auch moin moin meistens gibt die Parametrisierung nach der Bogenlänge ziemlich üble Formeln. Gute Beispiele kriegst du, wenn du den Wurzelausdruck auflösen kannst. Betrachte zB die Kettenlinie: $\begin{eqnarray} f(t) := (t, cosh (t)) \end{eqnarray}$ Der Startpunkt der Bogenlänge-Messung sei (0,1), dann gilt: $\begin{eqnarray} s = \int_{0}^{t}~\sqrt{1 + sinh^{2}(u)}~du \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = ... = sinh (t) \end{eqnarray}$ . Also: $\begin{eqnarray} t = arsinh (s) \end{eqnarray}$ . Das brauchst du jetzt bloß noch in die Weggleichung einsetzen und du hast sie: $\begin{eqnarray} f(s) = (arsinh (s), cosh (arsinh (s)) = (arsinh (s), \sqrt{1 + s^{2}}) \end{eqnarray}$ Guten Rutsch Abakus
30.12.2005, 16:06	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Monotonie einer Kurven-Parametrisierung Danke für das Beispiel. Hab heute Morgen einfach nen Kreis genommen f(t)=(rcos t, rsint)... Bei deinem Beispiel ist dann $\begin{eqnarray} g'= ( \frac{1}{\sqrt{1 + s^2}} , \frac{s}{\sqrt{1 + s^2}}) \end{eqnarray}$ , also ein Tangentenvektor mit Länge 1. Was mich verwirrt hat war das df was hier aber nur eine andere Schreibweise ist, und nix direkt mit dem totalen Differential zu tun hat. Und die Beispiele haben klick gemacht. Edit: Und nun kann man daraus und aus der Monotonie der Ursprungsfunktion die Monotonie von g folgern. (oder fehlt noch was?) Frohes 2006!

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