1-dim. untervektorräume finden

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penizillin Auf diesen Beitrag antworten »
1-dim. untervektorräume finden
hallo!

wollte noch mal um rat fragen. nun muss ich alle 1-dimensionalen untervektorräume von finden, wobei K ein körper mit 3 elementen ist.

meine überlegung ist:
1. nach def. ist eine basis ein linear unabhängiges erzeugendensystem.
2. bei 1-dim. UVR wird die basis nur einen vektor enthalten.
3. eine menge von vektoren, die nur ein element enthält, ist immer linear unabhängig, wenn es kein null-vektor ist.

daraus schließe ich nun, dass jeder vektor aus diesem vektorraum eine basis eines UVR bilden kann, außer dem null-vektor. mein enthält elemente, also liegen hier untervektorräume vor.

ist dem so?
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

aber



zum Beispiel, oder nicht?

mfg 20
 
 
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das stimmt nicht. Beachte, welche Eigenschaften ein UVR haben muss! Z.B. muss jeder der UVRs den Nullvektor enthalten und natürlich auch alle Vielfachen des Basisvektors selbst. So muss z.B. der von erzeugte UVR auch noch enthalten. Und ganz ähnlich ist es bei den anderen UVRs. D.h. einfach, dass du mehrere UVRs doppelt zählst. Der von erzeugte UVR ist nämlich genau derselbe wie der von erzeugte.

Gruß MSS
penizillin Auf diesen Beitrag antworten »

da habt ihr natürlich recht..
dann mal kurz eine zwischenfrage: gehe ich recht in der annahme, dass ein körper mit 3 elementen zwangsweise ausschließlich die elemente 0, 1 und -1 enthält? (0 wg. neutralem element bzgl. d. addition, 1 wg. der multiplikation und -1 als additives inverses zu 1) dann würde es bedeuten, dass ich genau 2 mal zu viele uvr zusammengezählt habe, oder?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig, der Körper enthält nur bzw. , wenn man mit 2 bezeichnet.
Alle Untervektorräume besitzen genau 3 Elemente. Du hast also in der Tat jeden UVR doppelt gezählt.

Gruß MSS
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Richtig, der Körper enthält nur bzw.

oder Berta, Hans und Adeltraud
das sind doch nur Namen, ist doch völlig egal, wie die heißen, wichtig ist allein, wie sie untereinander verknüpft werden

möchte man das ganze richtig sinnig (ist natürlich relativ) aufziehen, so gibt man ihnen namen wie und sieht die elemente als restklassen von Z/3Z an, dann fällt nämlich gleich die verknüpfungstafelei mit ab.

da aber eh nur ein einziger körper mit 3 elementen existiert (alle anderen sind dazu isomorph), deswegen kann man das ganze etwas "lascher" angehen un die elemente einfach 0,1,2 oder 0,1,-1 nennen, "da weiß dann eh jeder, wie das verknüpft sein soll"
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig Jochen. Das war mir klar und in genau diesem Sinne habe ich es auch gemeint. Augenzwinkern

Gruß MSS
penizillin Auf diesen Beitrag antworten »

drum ja die erklärung in klammern dahinter smile
vielen dank für eure hilfe!
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