Nullstellensatz

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Frooke Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstellensatz
Hallo allerseits!
Ich habe eine Frage zum Nullstellensatz (nicht der hilbert'sche, der Sonderfall des Zwischenwertsatzes)...

Dieser besagt ja, dass eine stetige Funktion f auf einem Intervall [a;b] mit f(a)>0>f(b) mindestens eine Nullstelle besitzt.

Zum Beweis: Es kommt mir irgenwie «zu einfach» vor, aber reicht das denn nicht als Beweis?

Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist wirklich zu einfach. Denn beim Beweis verwendest du, sogar in einer allgemeineren Form, das, was du eigentlich beweisen sollst.

Also der schlimmste Beweisfehler, den man eigentlich machen kann. traurig

Einfach noch einmal darüber nachdenken ... smile
 
 
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Also der schlimmste Beweisfehler, den man eigentlich machen kann. traurig


Gut, dass das noch im alten Jahr passiert ist... Hammer

Aber irgendwie raff ich's nicht... f(a)>0>f(b). f ist auf [a;b] stetig. Also muss es irgendwo die Null «kreuzen»... verwirrt
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, natürlich muss sie das. Aber das ist ja gerade die Aussage, die der Satz hergibt. Dein "muss" zeigt genau die Tatsache, dass der Satz anschaulich klar ist. Das ist allerdings in der Tat lange noch keine mathematisch saubere Erklärung, welche man für einen Beweis ja braucht.

Gruß MSS
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

nennt sich dieser satz nicht "satz von rolle"?
oder war das wieder was anderes!?

darf ich mal ganz dumm fragen, ob ihr den zwischenwertsatz voraussetzen dürft? wenn ja, dann ist es ja auch "ganz einfach", da ja wirklich nur spezialfall.
n! Auf diesen Beitrag antworten »

Jochen,da musst du etwas verwechselt haben.

Satz von Rolle:

Sei differenzierbar mit f(a)=f(b). Dann existiert ein mit

@Frooke

Fallst du den Satz weiterhin beweisen willst,schlage ich dir das sogenannte Bisektionsverfahren vor
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

huch, danke, ist ja nix neues, dass ich die analysissätze durcheinander bringe

ich bin mal lieber ruhig! smile
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Bei diesem Satz spricht man vom "Nullstellensatz von Bolzano". Bisektionsverfahren und zB 2 Schachtelungs-Folgen definieren ist eine Idee. Big Laugh
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

"Bisektionsverfahren" klingt irgendwie nach einer okkulten Veranstaltung. Ich nenne das Intervallhalbierungsverfahren.

Nehmen wir an, daß gilt und im Intervall stetig ist mit .

Dann definiere für die Intervalle rekursiv durch





Da jedes Intervall halb so groß wie sein Vorgänger ist, liegt eine Intervallschachtelung vor. Die Intervalle ziehen sich auf ein



mit zusammen. Jetzt ist noch zu zeigen, daß gilt.

Anschaulich bestimmt das Verfahren bei jedem Schritt dasjenige der beiden durch Halbierung entstehenden Intervalle des bisherigen Intervalls, das aufgrund der Vorzeichen von an den Intervallrändern die Nullstelle enthalten muß.

Falls übrigens gilt, sind die Relationszeichen in der Definition umzudrehen: .

Das Verfahren ist konstruktiv, also geeignet, eine Nullstelle konkret zu berechnen. Im Anhang habe ich das Verfahren auf mit als Startintervall angewandt. Die Excel-Tabelle zeigt, wie sich die Intervalle auf zusammenziehen.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Hehe, Jochen.
Hatten wir das nicht schon einmal geklärt? Augenzwinkern
Beim nächsten Mal kannst du ja dann in dem Thread mal nachsehen. Big Laugh

Nun, da Leopold einen Beweis gegeben hat, kann ich das ja einfach auch mal tun. Folgender Beweis ist allerdings im Gegensatz zu dem von Leopold nicht konstruktiv. Dieser Beweis erfasst die größte Nullstelle von .
Sei , stetig auf und sowie . Wir betrachten die Menge

.

Wegen ist nichtleer und wegen für alle auch beschränkt, so dass sie ein Supremum besitzt, was offenbar in liegt. Da das Supremum von ist, gibt es eine Folge mit für alle , die gegen konvergiert. Dann gilt für alle : . Wegen der Stetigkeit von folgt daraus:

.

Damit ist . Wäre nun , so gäbe es noch Punkte mit (dazu wähle man im -Kriterium für Stetigkeit im Punkt ), was aber im Widerspruch zur Supremumseigenschaft von steht. Also muss doch gelten.
Im Falle und ergibt sich der Beweis aus dem eben Bewiesenen, angewandt auf die Funktion .

Gruß MSS
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

@Leopold: Ist mir alles klar, aber wie zeigst Du, wenn Du Epsilon gefunden hast, dass es tatsächlich Nullstelle ist?

Übrigens kann ebendieses Intervallhalbierungsverfahren auch fehlschlagen, wenn mehr als eine Nullstelle vorhanden sind.
n! Auf diesen Beitrag antworten »

@Frooke

Ich denke Leopold will auf folgendes hinaus:

Die Folge der linken Intervallenden und der rechten Intervallenden sind monoton steigend bzw fallend.Ihre Differenzfolge ist eine Nullfolge (warum?).Jetzt kannst du dir schnell klar machen,dass diese Folgen auch beschränkt sind und somit konvergent.

Da die Differenzfolge eine Nullfolge ist, besitzen die beiden Folgen der Intervalle denselben Grenzwert. Jetzt kannst du das zu Ende führen denke ich
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Frooke
Übrigens kann ebendieses Intervallhalbierungsverfahren auch fehlschlagen, wenn mehr als eine Nullstelle vorhanden sind.

Das ist quatsch - sonst würde der Beweis ja nicht funktionieren. Du kriegst auf jeden Fall immer eine Nullstelle bei diesem Verfahren.
Dass gilt, sieht man so: Für alle natürlichen gelten und . Lasse nun gegen unendlich laufen und benutze wieder die Stetigkeit von .

Gruß MSS
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Das ist quatsch - sonst würde der Beweis ja nicht funktionieren. Du kriegst auf jeden Fall immer eine Nullstelle bei diesem Verfahren.


Stimmt - einfach nicht immer die Gesuchte, aber das ist ja hier irrelevant traurig
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