lim - Seite 2

01.01.2006, 13:53

20_Cent

es gilt folgender zusammenhang:

$\begin{eqnarray*} (f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))} \end{eqnarray*}$

was ist die umkehrfunktion von ln?
was ist die ableitung davon?

mfg 20

01.01.2006, 14:17

Hook

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umkehrfunktion ist 1/x

01.01.2006, 14:19

20_Cent

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hast du dich jetzt nur verschrieben?

die umkehrfunktion ist jedenfalls nicht 1/x !

mfg 20

01.01.2006, 14:37

Hook

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ja umkehrfunktion ist e^x

01.01.2006, 14:38

20_Cent

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richtig.
was ist die ableitung davon?
jetzt setz das mal in die formel ein.

mfG 20

01.01.2006, 14:55

Hook

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dann ist die ableitung 1/x

01.01.2006, 14:58

20_Cent

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richtig.
was ist also der grenzwert mit L'Hospital?

mfG 20

01.01.2006, 15:11

Hook

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1über x mit limxpfeil0

gibt 1

01.01.2006, 15:14

20_Cent

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x ging aber gegen 1. (dein ergebnis stimmt trotzdem)

du hast das x vor dem bruch vergessen...
das musst du mitableiten, schreibe es in den zähler und wende die produktregel an.

Andere Möglichkeit:
Grenzwertsätze

mfg 20

01.01.2006, 15:16

Frooke

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Zitat:

Original von 20_Cent

Zitat:

Original von Leopold

Zitat:

Original von Lazarus
dafür gilt aber:
$\begin{eqnarray*} \lim_{2 \to 3} 2 + 2 = 6 \end{eqnarray*}$

[Achtung Scherz!!!]

Wenn schon Scherz, dann richtig!

Lazarus meint natürlich

$\begin{eqnarray*} \lim_{2 \to 3} \left( 2 + 2 \right) = 6 \end{eqnarray*}$

Denn bei Lazarus Schreibweise wäre

$\begin{eqnarray*} \lim_{2 \to 3} 2 + 2 = 5 \end{eqnarray*}$

das "Richtige".

Big Laugh

Das hat man davon, wenn man nur so die Hälfte mitverfolgt Hammer

01.01.2006, 15:34

4c1d

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Zitat:

Original von Hook
von sin(x) ist cos(x)
mich würde es aber interessieren wie man das errechnen kann

Den entsprechenden Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{\sin{(x+h)}-\sin{x}}{h} \end{eqnarray*}$ berechnet man i.a. mit Hilfe der Additionstheoreme und der schon bekannten (da haben wir's Augenzwinkern

) Tatsache, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{\sin{h}}{h} = 1 \end{eqnarray*}$ gilt :
$\begin{eqnarray*} \frac{\sin{(x+h)}-\sin{x}}{h} = \frac{2 \cos{(x+\frac{h}{2})} \sin{\frac{h}{2}}}{h} = \cos{(x+\frac{h}{2})} \cdot \frac{\sin{\frac{h}{2}}}{\frac{h}{2}} \to \cos{x} \ (h \to 0). \end{eqnarray*}$

01.01.2006, 15:42

20_Cent

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würdest du das bitte auch beweisen:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{h \to 0}{\frac{\sin h}{h}}=1 \end{eqnarray*}$

ich weiß leider nicht mehr, wie das ohne L'Hospital geht...

mfg 20

01.01.2006, 16:53

4c1d

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Okay, ich skizziere mal wie das Mangoldt/Knopp in Höhere Mathematik 1 mit Hilfe der elementargeometrischen Definitionen der Winkelfunktionen machen :
Das Entscheidende dabei ist, die Ungleichung $\begin{eqnarray*} 0 \leq \sin{x} < x < \tan{x} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ zu zeigen : Denkt man sich zwei Punkte A und B auf dem Einheitskreis, dessen Mittelpunkt O dem des (kartesischen) Koordinatensystems entspreche, die um einen solchen Winkel x entfernt liegen, wobei A auf der x-Achse liege (also A=(1/0)), dann ist der Flächeninhalt des Dreiecks OAB ( = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \sin{x} \end{eqnarray*}$ , weil sinx die y-Koordinate von B und damit die Höhe des Dreiecks ist und außerdem die Grundseite des Dreiecks gleich 1 ist) kleiner als der des Kreisausschnittes OAB ( = $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2 \pi} \cdot x = \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ , da der Flächeninhalt des Einheitskreises gleich $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ist), also $\begin{eqnarray*} \sin{x} < x \end{eqnarray*}$ .
Betrachtet man zusätzlich die Tangente an den Kreis durch A und bezeichnet ihren Schnittpunkt mit der Geraden durch O und B mit C, dann ist die Länge der Strecke von A nach C gleich $\begin{eqnarray*} \tan{x} \end{eqnarray*}$ und mit ähnlichen Überlegungen zu dem Dreieck OAC folgt die Ungleichung $\begin{eqnarray*} x < \tan{x} \end{eqnarray*}$ . Eigentlich recht einfache Überlegungen, wenn man sich dazu eine kleine Skizze macht.
Wenn man in der Ungleichung weiter $\begin{eqnarray*} \tan{x} \end{eqnarray*}$ ersetzt, erhält man schnell $\begin{eqnarray*} \left| \frac{\sin{x}}{x} - 1 \right| < 1 - \cos{x} = 2 \operatorname{sin^2}{\frac{x}{2}} \end{eqnarray*}$ und wegen $\begin{eqnarray*} \operatorname{sin^2}{\frac{x}{2}} < (\frac{x}{2})^2 \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} \left|\frac{\sin{x}}{x}-1 \right| < \frac{x^2}{2} \end{eqnarray*}$ . Strebt nun x gegen 0, dann ist dieser Betrag immer kleiner als eine Funktion mit Grenzwert 0 und konvergiert deswegen selbst gegen 0.
edit : Und zwar auch für $\begin{eqnarray*} - \frac{\pi}{2} \leq x \leq 0 \end{eqnarray*}$ .

01.01.2006, 16:57

20_Cent

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ahh, ich erinnere mich... vielen dank.
das hatten wir mal im mathe vorkurs Augenzwinkern

mfG 20

01.01.2006, 17:05

lego

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könnte man $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{sin(h)}{h}=1 \end{eqnarray*}$ nicht vielleicht einfacher über die reihendarstellung zeigen, es wird alles bis auf den ersten term, welcher h/(h*1!)=1 ist, 0

01.01.2006, 18:11

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von 20_Cent
der Beweis dieser Aussage ist aber wesentlich komplizierter, wenn man L'Hospital noch nicht hat.

Zitat:

Original von 20_Cent
würdest du das bitte auch beweisen:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{h \to 0}{\frac{\sin h}{h}}=1 \end{eqnarray*}$

ich weiß leider nicht mehr, wie das ohne L'Hospital geht...

Nun, das mit l'Hospital zu beweisen, ist einfach sinnlos! Siehe auch hier. Wenn du darauf l'Hospital anwendest, benutzt du schon die Ableitung des Sinus!! Nun ist es aber so, dass du gerade die Ableitung des Sinus im Nullpunkt berechnen willst. Du suchst nämlich

$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\sin(0+h)-\sin 0}{h}=\sin'0 \end{eqnarray*}$ .

Also: Wenn du die Ableitung kennst, dann siehst du es direkt so ein, weil

$\begin{eqnarray*} \sin'0=\cos 0=1 \end{eqnarray*}$

ist. Wenn du sie nicht kennst, kannst du l'Hospital nicht anwenden - in beiden Fällen ist l'Hospital also nicht sinnvoll.

Gruß MSS

01.01.2006, 18:42

4c1d

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@ lego : Ja, wenn man die Winkelfunktionen entsprechend definiert hat (sodass man die Reihendarstellung schon zur Verfügung hat, ohne die Ableitung/Differenzierbarkeit zu kennen), geht das natürlich.

01.01.2006, 19:02

Hook

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habe da noch ne kleine frage

die formel

f(x)=sinx f'(x)=cosx

muss man da im bogenmass rechnen oder geht in grad das auch?

01.01.2006, 19:09

Mathespezialschüler

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Nein, musst du nicht. Du kannst dort $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auch im Gradmaß eingeben, ist aber sehr ungewöhnlich.

Gruß MSS

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