Verständisproblem

30.12.2005, 15:17

Gast007

Verständisproblem

Hallo zusammen!

Ich hab hier ein kleines Problem, das im Grunde vielleicht einfach ist, aber ich mal wieder auf dem Schlauch stehe.

Also

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^h~k^{i} = \frac{1 - k^{h+1}}{1 - k} \end{eqnarray*}$

weil

$\begin{eqnarray*} (1 + k^{1} + k^{2} + ... + k^{h}) * (1 - k) = 1 - k^{1} + k^{1} - k^{2} + k^{2} - ... - k^{h+1} = 1 - k^{h+1} \end{eqnarray*}$

so jetzt meine Frage:

gibt es ähnliches Vefahren auch für andere Summen z.B.

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~i^{2} \end{eqnarray*}$

30.12.2005, 15:22

20_Cent

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ja, da gibts formeln:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~i^{2} = \frac{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$

oder die gaußformel:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~i = \frac{n\cdot (n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

(lassen sich per vollst. ind. nachweisen.)

mfG 20

30.12.2005, 15:35

Gast007

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Danke.

Folgere ich dann richtig wenn ich sage:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~\frac{1}{i} = \frac{2}{n * (n + 1)} \end{eqnarray*}$

30.12.2005, 15:39

Mathespezialschüler

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Nein, das ist vollkommen falsch! Richtig ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sum\limits_{i=1}^n~i}=\frac{2}{n(n+1)} \end{eqnarray*}$ .

Übrigens gibt es kein ähnliches Verfahren für $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~i \end{eqnarray*}$ wie du es für die andere Summe gezeigt hast.

Gruß MSS

30.12.2005, 15:47

Gast007

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Also muss ich die Formeln einfach auswendig lernen.

Die Gauss-Formel war mir bekannt, aber der Rest nicht. Gibt es vielleicht auch eine für die harmonische Reihe ? Oder wo finde ich noch mehr von desen Formeln ?

30.12.2005, 15:51

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Gast007
Gibt es vielleicht auch eine für die harmonische Reihe ?

Soweit ich weiß: Nein! Es gibt wohl nur eine Näherungsformel für große $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

30.12.2005, 15:53

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Übrigens gibt es kein ähnliches Verfahren für $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~i \end{eqnarray*}$ wie du es für die andere Summe gezeigt hast.

Zumindest nicht direkt für Potenzen. Aber über

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n ~ {i+m-1 \choose m} = {n+m \choose m+1} \end{eqnarray*}$

kann man immerhin verwandte Summen wie

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n ~ i &=& \frac{1}{2}n(n+1)\\ \sum_{i=1}^n ~ i(i+1) &=& \frac{1}{3}n(n+1)(n+2)\\ \sum_{i=1}^n ~ i(i+1)(i+2) &=& \frac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3)\\ \cdots & \cdots & \cdots \end{eqnarray*}$

bestimmen.

30.12.2005, 15:55

Gast007

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Ok danke.

@MSS
Ich habs auch grad nochmal auf wikipedia.de gefunden.
Stehen zwar Formeln für die harmonische Reihe da, jedoch meistens nur wenn sie bis unendlich gehen.

Die Formel die nur bis n geht ist eine Nährungsformel und deswegen nicht für Beweise geeignet.

@Arthur Dent
Danke auch!

30.12.2005, 17:29

papahuhn

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler

Übrigens gibt es kein ähnliches Verfahren für $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~i \end{eqnarray*}$ wie du es für die andere Summe gezeigt hast.

Gruß MSS

Es gibt vielleicht kein ähnliches, aber man kann dennoch Formeln für $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^m~i^n; n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ angeben. Das sind nämlich Polynome $\begin{eqnarray*} (n+1) \end{eqnarray*}$ -ten Grades in $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ , deren Parameter man z.B. durch Einsetzen und anschließende Induktion bestimmen und beweisen kann.

30.12.2005, 19:28

Mathespezialschüler

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Ich habe weder behauptet, dass es für

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~\prod_{k=0}^m~(i+k) \end{eqnarray*}$

keine Formel gibt noch dass dies auch für Summen der Form

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~i^m \end{eqnarray*}$

gilt - im Gegenteil: Ich weiß, dass es für beide Summen allgemeine Formeln gibt. Ich wollte nur sagen, dass sich die Formeln für $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~i^m \end{eqnarray*}$ nicht über ein ähnliches Verfahren wie bei der geometrischen Summenformel herleiten lassen. Augenzwinkern

Vielleicht hätte ich noch einschränken sollen, dass mir solch ein ähnliches Verfahren zumindest nicht bekannt ist.
smile

Gruß MSS

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