Reelle Potenzreihe

30.12.2005, 19:21

glocke

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Reelle Potenzreihe

Hallo zusammen und alleine,

Ich sitze hier vor folgender Aufgabe und es will mir keine Lösung in den Sinn kommen, mit der ich zufrieden wäre:

Sei $\begin{eqnarray*} P(x)= \sum_{n=0}^\infty ~c_n*x^n \end{eqnarray*}$ eine reele Potenzreihe mit Konvergenzradius R>0.

Zeigen Sie: Ist P(x) = 0 für alle x aus ]-R,+R[ (<- offenes Intervall), so ist $\begin{eqnarray*} c_n=0 \end{eqnarray*}$ für alle n aus $\begin{eqnarray*} \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$

meine Argumentation sieht wie folgt aus:

Es gibt ein $\begin{eqnarray*} c_n \neq 0 \end{eqnarray*}$ , dann folgt daraus, daß $\begin{eqnarray*} P(x)\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist, weil man obdA $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ setzen kann.
(also Kontraposition)

Irgendwie fehlt mir da was...ich denke da an eine alternierende Reihe, die in die Quere kommen könnte.

30.12.2005, 19:49

AD

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Indirekter Beweis: Nimm also an, dass nicht alle Koeffizienten gleich Null sind. Dann gibt es ein kleinstes derartiges $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c_m\neq 0 \end{eqnarray*}$ . Dann kannst du die Potenzreihe schreiben als

$\begin{eqnarray*} P(x) = c_mx^m \left( 1 + \sum_{k=1}^{\infty} ~ \frac{c_{m+k}}{c_m} x^k \right) \end{eqnarray*}$

Und wenn du jetzt mal ein wenig über die Potenzreihe innerhalb der Klammern nachdenkst, dann findest du auch ein $\begin{eqnarray*} x' \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} P(x')\neq 0 \end{eqnarray*}$ .

EDIT: Ja richtig, im Nenner steht $\begin{eqnarray*} c_m \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} c_k \end{eqnarray*}$ , war ein Schreibfehler - korrigiert. Danke, glocke.

30.12.2005, 19:55

Abakus

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RE: Reele Potenzreihe
fast ähnliche Idee: Zeige durch vollständige Induktion, dass $\begin{eqnarray*} c_k = 0 \end{eqnarray*}$ für alle k gelten muss.

Fange mit $\begin{eqnarray*} p(0) =c_0 = 0 \end{eqnarray*}$ an.

Folgere dann durch Betrachten eines geeigneten Ausdrucks ( $\begin{eqnarray*} x^{n} \end{eqnarray*}$ ausklammern), dass auch $\begin{eqnarray*} c_{n+1} = 0 \end{eqnarray*}$ sein muss, wenn es alle vorherigen Koeffizienten sind.
Dabei musst du ausnutzen, dass in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ein Produkt nur dann Null ist, wenn es mindestens einer der Faktoren ist und du einen positiven Konvergenzradius hast. smile

smile

30.12.2005, 20:19

glocke

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@Arthur
Verstehe ich nicht. So wie Du es hingestellt hast, müsste ich doch jetzt zeigen, dass die Summe in der Klammer $\begin{eqnarray*} \neq -1 \end{eqnarray*}$ ist, denn es soll P(x) != 0 dabei ´rumkommen...

Greez
Simon

PS: müßte es im Nenner nicht c_m heißen ?

30.12.2005, 21:18

glocke

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Ich denke, daß ich meine eigene Lösung nehmen werde:

$\begin{eqnarray*} x_1,x_2\in (-R,+R) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sum_{n=0}^\infty~c_nx_1^n=\sum_{n=0}^\infty~c_nx_2^n=0 \end{eqnarray*}$
was nur möglich ist, wenn $\begin{eqnarray*} c_n=0 \end{eqnarray*}$ ist

Greez
Simon

31.12.2005, 01:36

Mathespezialschüler

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@glocke
Ist nur die Frage, ob dein Prof das akzeptiert, denn du solltest schon noch begründen, warum das nur möglich ist, wenn $\begin{eqnarray*} c_n=0 \end{eqnarray*}$ ist für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ .
Nimm doch Arthurs Lösung. Du hast sie noch nicht Recht verstanden. Bei diesem Beweis musst du nur zeigen, dass es eine Zahl $\begin{eqnarray*} x' \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} P(x')\neq 0 \end{eqnarray*}$ und nicht dass dies für alle Zahlen $\begin{eqnarray*} x\in (-R,R) \end{eqnarray*}$ gilt! Dann hast du schon den Widerspruch. Und das eine ist leicht zu finden ...

Gruß MSS

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31.12.2005, 16:30

glocke

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Ich versuche es mal:

man müsste |x|<1 und ungleich 0 wählen, wäre ist der Faktor vor der Klammer ungleich 0. Die Summe in der Klammer ist dann einer geometrische Reihe ähnlich...dennoch plagt mich weiterhin der Gedanke, das die Summe ungleich -1 sein muß...irgendwie will das nicht in meinen Kopf - bzw aus ihn hinaus

Greez
Simon

01.01.2006, 12:37

Abakus

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} x_1,x_2\in (-R,+R) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sum_{n=0}^\infty~c_nx_1^n=\sum_{n=0}^\infty~c_nx_2^n=0 \end{eqnarray*}$
was nur möglich ist, wenn $\begin{eqnarray*} c_n=0 \end{eqnarray*}$ ist

Das ist doch nur die Behauptung hingeschrieben; gefordert ist ein Beweis (ich nehme mal an, dass das für alle $\begin{eqnarray*} x_1, x_2 \end{eqnarray*}$ gelten soll?).

Einige Voraussetzungen, zB dass $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ der zugrundeliegende Körper ist, müssten etwa in einen Beweis eingehen. Über endliche Körper ist die Behauptung falsch!

zB über $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_2: f(x) = x^{2} + x = x^{99} + x^{22} = \hat{0} \end{eqnarray*}$

01.01.2006, 13:09

glocke

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@abakus
aus der aufgabenstellung kannst du entnehmen, daß es sich um eine reele Potenzreihe handelt.

zum beweis:

es gilt P(x_1) = P(x_2)

also sind die Reihen gleich somit sind ihre einzelnen summanden identisch. mann nimmt jetzt ein i-tes Reihenglied aus beiden Reihen, setzt sie gleich, formt nach c_i um und stellt fest, das c_i = 0 für beliebiges i ist

Greez
Simon

01.01.2006, 13:41

Abakus

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Zitat:

Original von glocke
@abakus
aus der aufgabenstellung kannst du entnehmen, daß es sich um eine reele Potenzreihe handelt.

Ja. Nur muss das jeder mögliche Beweis dann auch als Voraussetzung benutzen, denn ansonsten wird die Behauptung falsch. An deinem Beweis sehe ich noch nicht, wo das genau eingeht. D.h. dein Beweis ginge auch für $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_2 \end{eqnarray*}$ durch?

Zitat:

zum beweis:

es gilt P(x_1) = P(x_2)

also sind die Reihen gleich somit sind ihre einzelnen summanden identisch.

Woraus schließt du das? Es gibt doch viele Reihen, die für verschiedene Argumente dieselben Funktionswerte liefern. ZB sei:

$\begin{eqnarray*} p_1(x) := x^{2} - 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p_2(x) := x^{3} + x^{2} - x - 1 \end{eqnarray*}$

Dann ist: $\begin{eqnarray*} p_1(1) = p_1(-1) = p_2(1) = p_2(-1) = 0 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} p_1 \neq p_2 \end{eqnarray*}$ und beide Polynome auch verschieden vom Nullpolynom.

Grüße
Abakus

01.01.2006, 13:52

glocke

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Sorry, aber ich kann deinen Gedanken nicht folgen. Aus der Aufgabenstellung wird doch klar, daß es sich um eine Potenzreihe handelt, die auf eine bestimmte Art und Weise aufgebaut wird. Handelt es sich bei Deinen Beispielen um Potenzreihen ?
Greez
Simon

01.01.2006, 14:00

Abakus

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Zitat:

Original von glocke
Handelt es sich bei Deinen Beispielen um Potenzreihen ?

Ja. Polynome sind ein besonders einfaches Beispiel von Potenzreihen. Es sind lediglich endlich viele Koeffizienten verschieden von Null.

Grüße
Abakus

01.01.2006, 14:09

glocke

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Ja richtig. Allerdinds sind im meinen Fall die Koeffizienten in beiden Polynomen identisch...

Greez
Simon

01.01.2006, 14:15

AD

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Zitat:

Original von glocke
Ja richtig. Allerdinds sind im meinen Fall die Koeffizienten in beiden Polynomen identisch...

... was du aber erst beweisen musst! Du drehst dich mit deiner Argumentation im Kreis, und Abakus hat mit seinen kritischen Anmerkungen sehr wohl recht.

01.01.2006, 14:24

glocke

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RE: Reelle Potenzreihe

Zitat:

Original von glocke

Sei $\begin{eqnarray*} P(x)= \sum_{n=0}^\infty ~c_n*x^n \end{eqnarray*}$ eine reele Potenzreihe mit Konvergenzradius R>0.

Hier steht doch das die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ sind. Die Dinger verändern sich nicht, egal welches $\begin{eqnarray*} x \in (+R,-R) \end{eqnarray*}$ ich da einsetze.

Greez
Simon

01.01.2006, 17:53

Mathespezialschüler

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Richtig, aber das ist lange noch keine Rechtfertigung für (d)einen Beweis!

Gruß MSS

01.01.2006, 17:58

glocke

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Wo ist da die Lücke ?

Greez
Simon

01.01.2006, 18:41

Mathespezialschüler

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Nun, wie auch von den anderen schon gesagt wurde: Bis jetzt hast du die Behauptung nur hingeschrieben, zwar in anderer Form, aber das ist ja noch nicht mal ein richtiger Beweisansatz.

Gruß MSS

01.01.2006, 20:38

glocke

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hmmm....

angenommen es gäbe ein $\begin{eqnarray*} c_m \neq 0 \end{eqnarray*}$ .

P(x)=0 ist für alle x aus dem Konvergenzintervall, dann ist

$\begin{eqnarray*} P(x_1)=c_0+c_1x_1+c_2x_1^2+c_3x_1^3... \end{eqnarray*}$

=

$\begin{eqnarray*} P(x_2)=c_0+c_1x_2+c_2x_2^2+c_3x_2^3... \end{eqnarray*}$

Für dieses m-te Reihenglied gillt dann:

$\begin{eqnarray*} c_mx_1^m=c_mx_2^m \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} c_m(x_1^m-x_2^m)=0 \Rightarrow c_m=0 \end{eqnarray*}$

Das ist aber ein Widerspruch zur Annahme.

Ist das so richtig(er) ?

Greez
Simon

01.01.2006, 21:16

Abakus

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Zitat:

Original von glocke

angenommen es gäbe ein $\begin{eqnarray*} c_m \neq 0 \end{eqnarray*}$ .

P(x)=0 ist für alle x aus dem Konvergenzintervall, dann ist

$\begin{eqnarray*} P(x_1)=c_0+c_1x_1+c_2x_1^2+c_3x_1^3... \end{eqnarray*}$

=

$\begin{eqnarray*} P(x_2)=c_0+c_1x_2+c_2x_2^2+c_3x_2^3... \end{eqnarray*}$

Für dieses m-te Reihenglied gillt dann:

$\begin{eqnarray*} c_mx_1^m=c_mx_2^m \end{eqnarray*}$

Offenbar setzt du $\begin{eqnarray*} x_1 \neq x_2 \end{eqnarray*}$ erstmal voraus. Aber selbst damit folgt es nicht. Das können doch erstmal beliebig viele Koeffizienten $\begin{eqnarray*} c_k \end{eqnarray*}$ ungleich Null sein.

Grüße
Abakus

01.01.2006, 21:31

glocke

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Zitat:

Original von Abakus
Offenbar setzt du $\begin{eqnarray*} x_1 \neq x_2 \end{eqnarray*}$ erstmal voraus.
...
Das können doch erstmal beliebig viele Koeffizienten $\begin{eqnarray*} c_k \end{eqnarray*}$ ungleich Null sein.

Das erste ist richtig. Ist das Zweite erledigt, wenn ich $\begin{eqnarray*} c_m \end{eqnarray*}$ als das erste Element der Reihe welches $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist bezeichne ? Abgesehen davon habe ich nicht angenommen, daß es GENAU Element != 0 gibt, sondern daß MINDSTENS eins existiert.

Greez
Simon

01.01.2006, 22:17

Abakus

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OK. Du nimmst jetzt das kleinste $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c_m \neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Wie folgerst du nun, dass die beiden m-ten Reihenglieder gleich sind? (Wenn du die Reihen zB voneinander abziehst, könnten da unendlich viele Reihenglieder ungleich 0 stehen).

Eine Summe bzw. der Reihengrenzwert kann sich ja auf viele unterschiedliche Möglichkeiten durch Summanden bilden:

zB: 0 = -4 + 1 + 3 oder 0 = -1 - 4 + 5

Grüße
Abakus

02.01.2006, 13:02

Ace Piet

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Wie sieht die algebraische, sprich hier Gruppen- bzw. bestenfalls Vektorraumstruktur von Potenzreihen über irgendeinem Körper aus?

Die Addition ist die der Koeffizienten(!), man hat Assoz.Gesetz und Existenz von Links- + Rechtsneutralen und damit(!) die Eindeutigkeit des neutralen Elementes. - Wohlbemerkt sprechen wir hier beim Vergleich zweier Potenzreihen (wann betrachte ich 2 Elemente als "gleich") über deren Koeffizienten und nicht über deren Argumente... Algebraisch habe ich daher abzählbar (über die Potenzen) viele Elemente in diesem "Reihenraum".
.
.
(aufgepasst)
.
.
Nun definieren wir eine Äquivalenzrelation(!) mit
p ~ q :<=> p(x) = q(x) für alle x aus K (zB. AUCH K = Z2)...
...
und wir wissen ja(?), dies ist Gleichheit bzgl. einer Eigenschaft...

Man stellt (in Z2) x^2 = x fest und damit x^n = x für n>=1. - Damit reduziert sich die "Potenzreihe" x^2 + x zu x + x = (1+1)x = 0 und man kommt auf die Idee, dass der Potenzreihenraum über Z2 die Dim = 2 hat, also von (1; x) erzeugt wird, ergo gibt es die Äquivalenzklassen ([0],[1],[x],[1+x]), die also je unendlich viele Elemente algebraischen Ursprungs beinhalten.

Knackpunkt ist wohl "x^n = 1 für jedes x aus K mit geeignetem n < |K|" in endlichen Körpern, was die algebraische Definition der Gleichheit (KoeffizientenVgl.) nicht mit der von "~" übereinstimmen lässt. - Wann also sind die "~"-Äquivalenzklassen 1-elementig? Dann erst nämlich wären KoeffizientenVgl. mit Abbildungsgleichheit (über dem ArgumentenKörper) gleichzusetzen(!) - Ich hoffe, ich langweile niemanden?

Eleganter Schwenk: Koeff. = Argumente = IR
(kühne Behauptung) Es liegt an den endlichen Körpern...

02.01.2006, 14:18

Abakus

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Zitat:

Original von Ace Piet
Wie sieht die algebraische, sprich hier Gruppen- bzw. bestenfalls Vektorraumstruktur von Potenzreihen über irgendeinem Körper aus?

Die Frage tut nicht viel zu dem Problem hier, aber mal eine Antwort: Algebraisch bilden die Potenzreihen über einem Körper einen (lokalen) Ring. Zwei Potenzreihen lassen sich dabei mit dem Cauchy-Produkt multiplizieren.

Zitat:

(kühne Behauptung) Es liegt an den endlichen Körpern...

Es liegt daran, dass in bestimmten Körpern $\begin{eqnarray*} n \cdot a = 0 \end{eqnarray*}$ möglich ist. Endliche Körper haben insbesondere diese Eigenschaft. Mit $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ als Grundkörper ist der hier diskutierte Satz jedoch richtig. Dies bedeutet dann aber auch, dass spezielle Eigenschaften von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ im Beweis gebraucht werden. Mehr sollte mein Beispiel oben nicht bedeuten.

smile

smile

Grüße
Abakus

02.01.2006, 15:26

glocke

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@Ace Piet
Danke für Deinen Beitrag. Es war auf keinen Fall langweilig, allerdings wird es wohl noch 2 Semester dauern, bis ich das verstehen kann Augenzwinkern

Augenzwinkern

@Abakus:
Du hast recht, so ohne weiteres kann ich das nicht folgern, aussedem drängt sich der Gedanke auf, daß es "my way" diesmal überhaupt nicht machbar ist...

Greez
Simon

02.01.2006, 20:57

glocke

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Ich versuche es nochmal mit Arthur´s Ansatz:
Sei $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$
Angenommen, es sind nicht alle $\begin{eqnarray*} c_n = 0 \end{eqnarray*}$ , so existiert ein kleinstes m, s.d. $\begin{eqnarray*} c_m \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist. Dann kann man die Potenzreihe auf folgende Art niederschreiben:

$\begin{eqnarray*} P(x)= c_mx^m \left({1+\sum_{k=1}^\infty~\frac{c_{m+k}}{c_m}x^k}\right) \end{eqnarray*}$

Ist dieses $\begin{eqnarray*} c_m \end{eqnarray*}$ das einzige ungleich 0, so ist man an dieser Stelle bereits fertig, denn dann ist $\begin{eqnarray*} P(x)=c_mx^m \neq 0 \end{eqnarray*}$ .
Ist das nicht der Fall und es existieren noch weitere, so könnte man annehmen, daß es ein $\begin{eqnarray*} x\in (-R,+R) \end{eqnarray*}$ gibt mit
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^ \infty~ \frac{c_{m+k}}{c_m}x^k=-1 \end{eqnarray*}$
dann müsste es doch aber auch ein $\begin{eqnarray*} x' \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x'|<x \end{eqnarray*}$ geben,
so daß

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~\frac{c_{m+k}}{c_m}x'^k \neq -1 \end{eqnarray*}$ ist,

Womit indirekt gezeigt wurde das $\begin{eqnarray*} P(x)=0 \Rightarrow c_n=0 \end{eqnarray*}$ gilt.

02.01.2006, 21:00

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Du machst es viel zu kompliziert. Nutze Arthurs Darstellung und berechne $\begin{eqnarray*} P(0) \end{eqnarray*}$ . Dann hast du schon den Widerspruch. Du willst ja gerade zeigen, dass es ein $\begin{eqnarray*} x' \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} P(x')\neq 0 \end{eqnarray*}$ gibt und deswegen verstehe ich es nicht, dass du immer wieder auf dieses $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ hinauswillst.

Gruß MSS

02.01.2006, 21:09

glocke

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verwirrt

wenn ich $\begin{eqnarray*} x' = 0 \end{eqnarray*}$ setze dann ist doch P(x')=0. Wo ist da der Widerspruch ?
Schade, daß es keinen Smily gibt, der gerade in seinen Schreibtisch beisst...

Greez
Simon

02.01.2006, 21:17

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast Recht. Das liegt aber auch nur daran, dass du falsch abgeschrieben hast! böse

böse

Gruß MSS

02.01.2006, 21:41

glocke

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Also ich habe orginal das hingeschrieben, was Arthur geschrieben hat...

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^ \infty ~c_nx^n=c_mx^m+\sum_{k=1}^ \infty~c_{m+k}x^{m+k}=c_mx^m \left({1+\sum_{k=0}^ \infty ~\frac {c_{m+k}}{c_m}x^k}\right) \end{eqnarray*}$

Was stimmt damit nicht ?

Greez
Simon

EDIT: ups, habe oben das $\begin{eqnarray*} x^m \end{eqnarray*}$ unterschlagen...jetzt stimmt es aber.
wenn ich jetzt x=0 setzte, dann habe ich doch:

$\begin{eqnarray*} P(0)=c_m0^m \left({1+\sum_{k=1}^ \infty~\frac {c_{m+k}}{c_m}0^k}\right)=0 \end{eqnarray*}$

und das will ich doch gerade nicht zeigen...
deshalb suche ich nach einem x $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0 bei dem ich mir sicher sein kann, dass die Klammer nicht null wird.
Greez
Simon

02.01.2006, 21:47

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von glocke
$\begin{eqnarray*} P(x)= c_m \left({1+\sum_{k=1}^\infty~\frac{c_{m+k}}{c_m}x^k}\right) \end{eqnarray*}$

Du hast ein $\begin{eqnarray*} x^m \end{eqnarray*}$ vergessen. Nun hab ich aber eine andere Idee. Sei

$\begin{eqnarray*} g(x):=\sum_{k=1}^{\infty}~\frac{c_{m+k}}{c_m}x^k \end{eqnarray*}$

Dies ist auch eine Potenzreihe, die stetig ist (ich hoffe, das ist bekannt!?). Wegen $\begin{eqnarray*} g(0)=0 \end{eqnarray*}$ gibt es deshalb zu $\begin{eqnarray*} \varepsilon=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ -Umgebung um $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , sodass ...

Kannst du das weiterführen?

Gruß MSS

02.01.2006, 22:00

glocke

Auf diesen Beitrag antworten »

habe den letzten editiert...

02.01.2006, 22:03

Mathespezialschüler

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Ja, das ist ok. Nun, da $\begin{eqnarray*} x'=0 \end{eqnarray*}$ nicht geht, habe ich ja eine neue Idee gepostet. Ist dir die Stetigkeit von Potenzreihen bereits bekannt?

Gruß MSS

02.01.2006, 22:14

glocke

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ja, ist bekannt. es sind grob gesprochen Polynome mit potentiell unendlich vielen Summandnen und Polynome sind stetig.

ich führe mal weiter:

...so daß gilt:
$\begin{eqnarray*} \forall x\in (-R,+R) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0<|x-0|<\delta \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} |g(x)-0|<\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

02.01.2006, 22:16

Mathespezialschüler

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Ganz genau. Für diese $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gilt dann natürlich $\begin{eqnarray*} g(x)\neq -1 \end{eqnarray*}$ ...

Gruß MSS

02.01.2006, 22:23

glocke

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EDIT: zu peinlich, um stehengelassen zu werden Augenzwinkern

Augenzwinkern

...und das war schon der zweite heute...
Greez
Simon

02.01.2006, 22:27

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, natürlich! Warum nicht?

Gruß MSS

02.01.2006, 22:30

glocke

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Hammer

Hammer

Hammer

es war ein langer tag...gerade dann ist g(x) ja sowas von ungleich -1
Schläfer

Schläfer

Greez
Simon

02.01.2006, 22:34

Abakus

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Der Ansatz ist ja schon Klasse: Augenzwinkern

Augenzwinkern

Annahme: es existiert mindestens ein $\begin{eqnarray*} c_n \neq 0 \end{eqnarray*}$ , dann existiert auch ein kleinstes m, mit $\begin{eqnarray*} c_m \neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} P(x)= x^m * \sum_{k=m}^\infty~c_{k} * x^{(m-k)} = 0~ \end{eqnarray*}$ für alle x aus dem Konvergenzbereich.

(ich habe es etwas anders hingeschrieben noch)

Da $\begin{eqnarray*} x^{m} \neq 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$ folgt sofort:

$\begin{eqnarray*} Q(x) := \sum_{k=m}^\infty~c_{k} * x^{(m-k)} = 0~ \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Q muss denselben Konvergenzbereich wie P haben und ist stetig, insbesondere auch in 0. Jetzt braucht ihr nur noch $\begin{eqnarray*} Q(0) \end{eqnarray*}$ genauer betrachten. Wegen der Stetigkeit ist $\begin{eqnarray*} Q(0) = 0 \end{eqnarray*}$ , wie ja schon von euch erkannt. Ferner $\begin{eqnarray*} Q(0) = c_m \end{eqnarray*}$ .

Naja, der Rest ist ja wohl klar?

(Das ist die Idee, aber ihr seid ja schneller smile

smile

)

Grüße
Abakus

02.01.2006, 22:44

Mathespezialschüler

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Richtig, so geht es auch. Der indirekte Beweis ist ja im Prinzip das Gleiche, nur von hinten aufgerollt ... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß MSS

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