ON Basis - Skalarprodukt

31.12.2005, 11:45

David

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ON Basis - Skalarprodukt

Hallo,

es geht um die Aufgabe 2
http://www.idee-c.de/pics/m3.jpg

Ich habe bisher meinen Ansatz von
$\begin{eqnarray*} (\vec{a}-2 \vec{b} )*(\vec{a}+ \vec{b})= 0 \end{eqnarray*}$

was doch aus dieser Vorgabe folgert, oder?
$\begin{eqnarray*} (\vec{a}-2 \vec{b} ) \end{eqnarray*}$ orthogonal zu $\begin{eqnarray*} (\vec{a}+ \vec{b}) \end{eqnarray*}$

Dann multipliziere ich aus und erhalte
$\begin{eqnarray*} \vec{a} *\vec{a} -\vec{a} *\vec{b} -2*\vec{b} *\vec{b} \end{eqnarray*}$

Jetzt komme ich einfach nicht weiter. Mein Ziel ist $\begin{eqnarray*} \mid \vec{b} \mid \end{eqnarray*}$

Gegeben ist $\begin{eqnarray*} \mid \vec{a} \mid = 4 \end{eqnarray*}$ und die andere Gleichung in der Aufgabe, di emich aber hier erstmal glaube ich ncht weiterbringt. Bin mir aber da auch ncht sicher.

Wie in der Überschrift bereits zu entnehmen ist, vermute ich irgendwie mit der ON Basis arbeiten zu müssen. Aber wie?

Hat jemand ein Tipp? Wär super.

31.12.2005, 12:43

klarsoweit

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RE: ON Basis - Skalarprodukt
Da war noch eine Gleichung, nämlich:
$\begin{eqnarray*} |\vec{a} - 2 \vec{b}| = 2 \cdot |\vec{a}+ \vec{b}| \end{eqnarray*}$
Drücke diese Beziehung durch Skalarprodukte aus.
Dann kannst du nach $\begin{eqnarray*} \vec{a} \cdot \vec{b} \end{eqnarray*}$ auflösen und in die andere Gleichung einsetzen.

31.12.2005, 13:20

David

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Vielen dank für den Tipp.

Also ich habe die Gleichung versucht umzustellen und komme bis
$\begin{eqnarray*} <br /> 0 = 2 \cdot \sqrt{\vec{a}\vec{a} + 2\vec{a}\vec{b} + \vec{b}\vec{b}} - \sqrt{\vec{a}\vec{a} - 4\vec{a}\vec{b} + 4\vec{b}\vec{b}}<br /> \end{eqnarray*}$

Doch wie jetzt weiter? Da fehlen mir wahrscheinlich einige Grundkenntnisse...

31.12.2005, 13:43

klarsoweit

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RE: ON Basis - Skalarprodukt
Das ist eine relativ simple Wurzelgleichung, die du relativ simpel nach $\begin{eqnarray*} \vec{a} \cdot \vec{b} \end{eqnarray*}$ auflösen kannst. Augenzwinkern

Augenzwinkern

(Schulstoff 9. Klasse?)

31.12.2005, 14:30

Leopold

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Gleichungen mit Beträgen außen herum darf man bedenkenlos quadrieren. Und wegen $\begin{eqnarray*} \left| \vec{x} \right|^2 = \vec{x}^{\, 2} \end{eqnarray*}$ hat man dann nur noch Skalarprodukte.

$\begin{eqnarray*} \begin{matrix} \text{(I)} & & \vec{a}^{\, 2} = 16 \\ \text{(II)} & & \left( \vec{a} - 2 \vec{b} \right) \, \left( \vec{a} + \vec{b} \right) = 0 \\ \text{(III)} & & \left( \vec{a} - 2 \vec{b} \right)^2 = 4 \, \left( \vec{a} + \vec{b} \right)^2 \end{matrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt die Gleichungen $\begin{eqnarray*} \text{(II)} , \text{(III)} \end{eqnarray*}$ ausmultiplizieren und zusammenfassen. Die drei Gleichungen bestimmen dann ein lineares Gleichungssystem in $\begin{eqnarray*} u = \vec{a}^{\, 2} \, , \, v = \vec{a} \, \vec{b} \, , \, w = \vec{b}^{\, 2} \end{eqnarray*}$ . Und hier ist $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ von vorneherein bekannt und $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ , genauer $\begin{eqnarray*} \sqrt{w} \end{eqnarray*}$ , gesucht.

31.12.2005, 18:33

David

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Nabend,

tja, ich habs jetzt nochmal versucht, aber mehr als das Folgende will mir nicht gelingen

$\begin{eqnarray*} 0 = 2 \cdot (\vec{a}+\vec{b})-\sqrt{\vec{a}\vec{a}-4\vec{a}\vec{b}+4\vec{b}\vec{b}} \end{eqnarray*}$

Kann mir bitte einer die 2. Wurzel noch ziehen? Eine kurze Erklärung dazu, wäre super.

Ich wünsche einen guten Rutsch, aber wahrscheinlich liest das sowieso niemand mehr vor Neujahr Augenzwinkern

Augenzwinkern

Bis dann,
David

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31.12.2005, 18:40

20_Cent

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hast du Leopolds Hinweis beachtet?
edit: noch ein kleiner tipp: in III nach $\begin{eqnarray*} \vec a * \vec b \end{eqnarray*}$ auflösen und in II einsetzen.
mfg 20

PS: Dir auch nen guten Rutsch!

01.01.2006, 15:10

klarsoweit

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Wo ist das Problem? verwirrt

verwirrt

Du hast doch
$\begin{eqnarray*} 0 = 2 \cdot \sqrt{\vec{a}\vec{a} + 2\vec{a}\vec{b} + \vec{b}\vec{b}} - \sqrt{\vec{a}\vec{a} - 4\vec{a}\vec{b} + 4\vec{b}\vec{b}} \end{eqnarray*}$
Jetzt die 2. Wurzel zurück auf die linke Seite (wo sie auch ursprünglich herkommt), quadrieren und nach $\begin{eqnarray*} \vec{a} \vec{b} \end{eqnarray*}$ auflösen.

02.01.2006, 13:40

David

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Zitat:

Original von Leopold
Gleichungen mit Beträgen außen herum darf man bedenkenlos quadrieren.

Das war mein Knackpunkt. danke, jetzt habe ich alle Lösungen rausbekommen.

$\begin{eqnarray*} \mid \vec{b} \mid = \vec{x}^{2} = 6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{\vec{a}}{4} = 4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha = ca. 87,6 \end{eqnarray*}$

@klarsoweit
Mein Problem bei dieser einen Wurzel war, dass mich das -4ab gestört hat. Daraus die Wurzel habe ich nicht hinbekommen bzw. war ich verunsichert, da es ja ein Term ist. Trotzdem danke an dich, du hast mir auch weitergeholfen.

Und danke an den Rest. Ich werde mich wohl bald schon wegen Aufgabe 3 melden...

02.01.2006, 13:54

Leopold

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Was du da schreibst, kann nicht stimmen. Besonders gräßlich ist die zweite Gleichung. Links steht nämlich ein Skalarprodukt, also ein Skalar, und in der Mitte ein Vektor. DAS IST UNTER KEINEN UMSTÄNDEN MÖGLICH!

02.01.2006, 14:05

David

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Sorry, da ist auf die Schnelle einiges durcheinander gekommen. So passts:

$\begin{eqnarray*} \mid \vec{b} \mid = \vec{b}^{2} = 6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{-\vec{a}\vec{a}}{4} = -4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha = 87,6 Grad \end{eqnarray*}$

02.01.2006, 14:10

Leopold

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Es muß

$\begin{eqnarray*} \left| \vec{b} \right| = \sqrt{\vec{b}^{\, 2}} \end{eqnarray*}$

heißen. Meiner Ansicht nach ergibt sich aber $\begin{eqnarray*} \left| \vec{b} \right| = \sqrt{10} \end{eqnarray*}$

02.01.2006, 14:40

David

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Ja stimmt Wurzel aus b Pfeil zum Quadrat. Dann also
$\begin{eqnarray*} \mid\vec{b}\mid = \sqrt{\vec{b}\vec{b}} = \sqrt{6} \end{eqnarray*}$

Also ich bekomme nach dem Quadrieren der Betragsgleichung und anschließendem Auflösen
$\begin{eqnarray*} \vec{a} \vec{b} = -\frac{1}{4} \vec{a} \vec{a} \end{eqnarray*}$

und das setze ich dann in die ausmultiplizierte Form von
$\begin{eqnarray*} (\vec{a}-2\vec{b})\cdot(\vec{a}+\vec{b}) = 0 \end{eqnarray*}$

und dann erhalte ich
$\begin{eqnarray*} -2\vec{b}\vec{b} = \frac{1}{4} \vec{a} \vec{a} - \vec{a} \vec{a} \end{eqnarray*}$

hier ist $\begin{eqnarray*} \vec{a}\vec{b} \end{eqnarray*}$ ersetzt und das Ergebnis ist dann
$\begin{eqnarray*} \vec{b}\vec{b} = 6 \end{eqnarray*}$

Ok, ich werde das heute abend nochmal prüfen, wo evtl. mein Fehler liegt.

Wie hast du dieses Schaubild erstellt, Leopold?

Danke und bis dann.

02.01.2006, 14:48

David

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Man bin ich ein Hirsch. Du hast recht Leopold, ich habe das Minus Zeichen nicht mit eingesetzt!

Dann kommt dein Ergebnis raus.
$\begin{eqnarray*} \mid \vec{b} \mid = \sqrt{10} \end{eqnarray*}$

Danke danke für deine Mühe und Hilfe.

02.01.2006, 14:58

David

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Mist, jetzt bekomme ich aber 71,56 Grad für den Winkel zwischen a und b raus. Nach deinem Schaubild müssen das aber über 90 Grad sein.

Ich versteh die Welt nicht mehr.

02.01.2006, 16:12

Leopold

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$\begin{eqnarray*} \begin{matrix} \text{(I)} & & \vec{a}^{\, 2} = 16 \\ \text{(II)} & & \left( \vec{a} - 2 \vec{b} \right) \, \left( \vec{a} + \vec{b} \right) = 0 \\ \text{(III)} & & \left( \vec{a} - 2 \vec{b} \right)^2 = 4 \, \left( \vec{a} + \vec{b} \right)^2 \end{matrix} \end{eqnarray*}$

Ausmultiplizieren bei $\begin{eqnarray*} \text{(II)} \end{eqnarray*}$ liefert: $\begin{eqnarray*} \vec{a}^{\, 2} - \vec{a} \, \vec{b} - 2 \, \vec{b}^{\, 2} \end{eqnarray*}$ . Und bei $\begin{eqnarray*} \text{(III)} \end{eqnarray*}$ ergibt sich nach Ausmultiplizieren und Ordnen: $\begin{eqnarray*} \vec{a}^{\, 2} + 4 \, \vec{a} \, \vec{b} = 0 \end{eqnarray*}$ .

Zu lösen ist also das folgende lineare Gleichungssystem in $\begin{eqnarray*} u = \vec{a}^{\, 2}, \, v = \vec{a} \, \vec{b} \, , \, w = \vec{b}^{\, 2} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \begin{matrix} \text{(I)} & & u = 16 \\ \text{(II)} & & u - v - 2w = 0 \\ \text{(III)} & & u + 4v = 0 \end{matrix} \end{eqnarray*}$ .

Aus $\begin{eqnarray*} \text{(I)} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \text{(III)} \end{eqnarray*}$ erhält man $\begin{eqnarray*} u = 16, \, v = -4 \end{eqnarray*}$ und aus $\begin{eqnarray*} \text{(II)} \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} w = 10 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} | \vec{b} | = \sqrt{10} \end{eqnarray*}$ . Und für den Winkel $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ zwischen den Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ folgt:

$\begin{eqnarray*} \cos{\varphi} = \frac{v}{\sqrt{uw}} = - \frac{4}{\sqrt{16 \cdot 10}} = - \frac{1}{\sqrt{10}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \varphi \approx 108{,}4^{\circ} \end{eqnarray*}$

Vermutlich hat bei dir der Jahreswechsel ein Vorzeichen beim Cosinuswert verschluckt.

02.01.2006, 20:20

David

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Ich danke dir, jetzt kann ich das Ergebnis auch nachvollziehen.

Ich hatte für cos(Alpha) das selbe raus nur dann wohl falsch im TR eingegeben...

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