Fehler bei Operatornorm, Folgenräume

09.05.2008, 18:36

Mazze

Fehler bei Operatornorm, Folgenräume

So, ich soll die Operatornorm von einem Operator bestimmen und komme dabei auf ein merkwürdiges (widersprüchliches) Ergebnis , aber ich finde den Fehler nicht, daher das Ganze im Kompletten. Wir betrachten die Folgenräume mit der p-Norm ausgestattet wie folgt:

$\begin{eqnarray*} q,p \in [1,\infty], y \in l^q(\mathbb{N}) \text{ fix } \end{eqnarray*}$

Dann wird das Funktional T wie folgt definiert :

$\begin{eqnarray*} T : l^p(\mathbb{N}) \to \mathbb{R} ~ x \mapsto \sum_{i=1}^{\infty}x_iy_i \end{eqnarray*}$

Es wird also für fixes y auf die Summe der Folgenprodukte abgebildet. Weiterhin werden p,q so angenommen das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 \end{eqnarray*}$ . Jetzt bin ich wie folgt verfahren :

$\begin{eqnarray*} ||T|| = \sup_{||x||_p = 1}|Tx| = \sup_{||x||_p = 1}\left|\sum_{i=1}^{\infty}x_iy_i\right| \leq \sup_{||x||_p = 1}\sum_{i=1}^{\infty}|x_iy_i| = \sup_{||x||_p = 1}||xy||_1 \leq \sup_{||x||_p = 1}||x||_p||y||_q = ||y||_q \end{eqnarray*}$

Wir haben also eine Abschätzung für die Operatornorm. Wenn wir eine Folge in l^p finden für die sogar Gleichheit gilt, haben wir die Operatornorm bestimmt. Ich hab sie wie folgt definiert

$\begin{eqnarray*} x_n = \begin{cases} y_n^{q - 1} & \text{ falls } \mathop{sign}(y_n) = \mathop{sign}(y_n^{q-1}) \\ -(y_n)^{q - 1} & \text{ sonst }\end{cases} \end{eqnarray*}$

Es gilt ja pq = p + q, daher kann man Folgern :

$\begin{eqnarray*} ||x||_p^p = \sum_{i=1}^{\infty}|(y_i)^{q - 1}|^p = \sum_{i=1}^{\infty}|(y_i)|^{pq - p} = \sum_{i=1}^{\infty}|(y_i)|^{p + q - p} = \sum_{i=1}^{\infty}|(y_i)|^{q} < \infty \end{eqnarray*}$

So, das x gehört also Tatsächlich zum Urbildraum, also wenden wir doch mal den Operator drauf an :

$\begin{eqnarray*} |Tx| = \left| \sum_{i=1}^{\infty}x_iy_i\right| = \left| \sum_{i=1}^{\infty}|y_i^{q - 1}y_i|\right| =\sum_{i=1}^{\infty}|y_i^q| = \sum_{i=1}^{\infty}|y_i|^q = ||y||_q^q \end{eqnarray*}$

So wir haben insgesammt also :

$\begin{eqnarray*} ||T|| \leq ||y||_q \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ||T|| = ||y||_q^q \end{eqnarray*}$

Ist die q-Norm von y allerdings > 1 so ist diese Aussage ein Widerspruch da q >= 1 gilt. Also ist mir bei der ganzen Sache ein Fehler passiert. Entweder die Abschätzung ist falsch, oder mein Beispiel. Ich vermute mal das bei dem rumspielen mit den Exponenten etwas passiert ist. Aber ich seh es nicht. Falls sich jemand die Mühe macht da durchzusehen, wäre ich dankbar.

viele Grüße

09.05.2008, 18:46

Dual Space

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RE: Fehler bei Operatornorm, Folgenräume

Zitat:

Original von Mazze
$\begin{eqnarray*} x_n = \begin{cases} y_n^{q - 1} & \text{ falls } \mathop{sign}(y_n) = \mathop{sign}(y_n^{q-1}) \\ -(y_n)^{q - 1} & \text{ sonst }\end{cases} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_n\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ . Warum machst du dir also über das Vorzeichen Gedanken?

09.05.2008, 18:50

Mazze

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Nene, $\begin{eqnarray*} y \in l^q(\mathbb{N}) \end{eqnarray*}$ . Das heisst doch nur das $\begin{eqnarray*} ||y||_q < \infty \end{eqnarray*}$ .

09.05.2008, 18:52

Dual Space

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Sorry, aber das glaub ich nicht. Was hat denn dann das $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \ell^q(\mathbb{N}) \end{eqnarray*}$ zu bedeuten?

09.05.2008, 18:56

Mazze

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Achso, das hät ich wohl mal Definieren sollen. Dachte die Bezeichnung sei allgemein geläufig.

$\begin{eqnarray*} l^p(\mathbb{N}) = \{(t)_n \subset \mathbb{K}~ | ~ ||t||_p < \infty\} \end{eqnarray*}$

09.05.2008, 18:58

Dual Space

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Na gut das wusste ich nicht. Aber ehrlich gesagt ist diese Notation doppelt gemoppelt. Sinnvoller wäre doch dann schon eher $\begin{eqnarray*} \ell^q(\mathbb{K}) \end{eqnarray*}$ zu schreiben, denn worüber sollte sonst unendlich oft summiert werden? Bist du dir 100%ig sicher?

09.05.2008, 19:00

Mazze

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Zitat:

Na gut das wusste ich nicht. Aber ehrlich gesagt Notation doppelt gemoppelt. Sinnvoller wäre doch dann schon eher $\begin{eqnarray*} \ell^q(\mathbb{K}) \end{eqnarray*}$ zu schreiben, denn worüber sollte sonst unendlich oft summiert werden? Bist du dir 100%ig sicher?

Absolut, die Semantik dahinter ist wohl in Anlehnung an die $\begin{eqnarray*} \mathcal{L}^p(I)- \end{eqnarray*}$ Räume ,wobei I eine Menge ist, genommen worden.

edit:

Ums genauer zu sagen, das N soll nur verdeutlichen das es sich um Folgen handelt.

09.05.2008, 19:04

Dual Space

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Ist eigentlich auch klar ... anderen falls würde man nicht viele $\begin{eqnarray*} \ell^q \end{eqnarray*}$ -Elemente finden. Hammer

Zurück zum Thema ... ich muss mir deinen ersten Post noch mal genau durchlesen. Melde mich also evtl. später wieder.

09.05.2008, 19:25

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Mazze
Es gilt ja pq = p + q, daher kann man Folgern :

$\begin{eqnarray*} ||x||_p^p = \sum_{i=1}^{\infty}|(y_i)^{q - 1}|^p = \sum_{i=1}^{\infty}|(y_i)|^{pq - p} = \sum_{i=1}^{\infty}|(y_i)|^{p + q - p} = \sum_{i=1}^{\infty}|(y_i)|^{q} < \infty \end{eqnarray*}$

So, das x gehört also Tatsächlich zum Urbildraum, also wenden wir doch mal den Operator drauf an :

$\begin{eqnarray*} |Tx| = \left| \sum_{i=1}^{\infty}x_iy_i\right| = \left| \sum_{i=1}^{\infty}|y_i^{q - 1}y_i|\right| =\sum_{i=1}^{\infty}|y_i^q| = \sum_{i=1}^{\infty}|y_i|^q = ||y||_q^q \end{eqnarray*}$

Ist ja schön und gut, dass du das hast, aber du sollst doch $\begin{eqnarray*} \sup_{\|x\|_p=1}|Tx| \end{eqnarray*}$ bestimmen und nicht $\begin{eqnarray*} \sup_{x\in l^p}|Tx| \end{eqnarray*}$ . Ich sehe nicht, warum für dein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ die Gleichung $\begin{eqnarray*} \|x\|_p=1 \end{eqnarray*}$ gelten sollte. Infolgedessen solltest du lieber $\begin{eqnarray*} x'=\frac{x}{\|x\|_p} \end{eqnarray*}$ betrachten. Für dieses gilt natürlich $\begin{eqnarray*} \|x'\|_p=1 \end{eqnarray*}$ und außerdem hast du wegen $\begin{eqnarray*} \|x\|_p^p=\|y\|_q^q=:a \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} |Tx'|=\frac{1}{\|x\|_p}\cdot |Tx|=\frac{1}{a^{\frac{1}{p}}}\cdot a=a^{1-\frac{1}{p}}=a^{\frac{1}{q}}=\|y\|_q \end{eqnarray*}$ .

Das bringt also tatsächlich genau das, was du wolltest.

09.05.2008, 19:33

Mazze

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Vielen Dank, manchmal steht man auch wie ne Kuh vor dem offenen Scheunentor. Ich hab ja die normierten x angeschaut. Danke!

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