Konvergenz zeigen

31.12.2005, 15:15

Jay14

Konvergenz zeigen

Hallo,

irgendwie komme ich bei der folgenden Aufgabe nicht weiter:

"Zeigen Sie, daß die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k)!}{2^k \cdot (k!)^2} \cdot z^k \end{eqnarray*}$ konvergiert für alle $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |z| < \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ."

Zuerst habe ich versucht zu zeigen, daß die Folge der $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ für |z|>= 0,5 keine Nullfolge bildet und die Reihe damit divergiert. Leider bin ich da nicht allzuweit gekommen.
Dann dachte an daran die Konvergenz über Monotonie und Beschränktheit zu zeigen - aber auch dabei habe ich mich verhakt.

Hat jemand einen Tipp für mich wo ich am besten ansetze?

Danke schonmal!

31.12.2005, 15:19

Mathespezialschüler

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Hallo!
Das ist eine Potenzreihe. Für den Konvergenzradius kannst du also eine der bekannten Formeln anwenden.

Gruß MSS

31.12.2005, 15:43

Jay14

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Hallo,

danke für die Antwort.

Ich habe mich mal (flüchtig) eingelesen. Für den Konvergenzradius erhalte ich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ und damit konvergiert die Reihe für |z|<0,5. Ok.

Nun haben wir das aber noch nicht in der Vorlesung behandelt. Geht das auch anders?

31.12.2005, 15:44

Pöken

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Versuch's mal mit dem Quotientenkriterium und schaue dann, für welche $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ die Reihe konvergiert bzw. divergiert.
Da sich alles schön wegkürzt, geht das recht flott.

31.12.2005, 15:45

Mathespezialschüler

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Wenn du für den Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ hast, dann hast du was falsch gemacht.
Ja, es geht auch anders, z.B. mit dem Quotientenkriterium. Ich hoffe, zumindest das kennst du.

Gruß MSS

31.12.2005, 16:03

Jay14

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Oh ja, sorry. Mit dem Quotientenkriterium gehts ja ganz einfach. Komme damit auch auf |z|<0,5. Danke.

Aber nochmal zum Konvergenzradius: Ich habe die Reihe halt so geschrieben: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k)!}{(k!)^2} \cdot \left( \frac{z}{2} \right)^k \end{eqnarray*}$ . Und dann komme ich auf $\begin{eqnarray*} r=\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ . Stimmt das nicht?

31.12.2005, 16:05

JochenX

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R=1/4 für z/2

dann muss |z/2|<1/4 sein und draus folgt nach multiplikation mit 2 das gleiche für z wie oben (!)

achja und randbetrachtung nicht vergessen

31.12.2005, 17:46

20_Cent

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RE: Konvergenz zeigen

Zitat:

Original von Jay14
"Zeigen Sie, daß die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k)!}{2^k \cdot (k!)^2} \cdot z^k \end{eqnarray*}$ konvergiert für alle $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |z| < \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ."

braucht man für die aufgabe aber nicht, da ist es egal, wenn $\begin{eqnarray*} z=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ist.

mfG 20

31.12.2005, 17:50

Mathespezialschüler

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Ist aber auch egal, da Jay14 ja sowieso mit dem Quotientenkriterium gearbeitet hat, wo man alles (!!) direkt sehen konnte.

Gruß MSS

31.12.2005, 17:55

20_Cent

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für $\begin{eqnarray*} z=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ kommt beim quotientenkriterium doch 1 raus, oder? Das heißt doch, keine Aussage.

mfG 20

31.12.2005, 18:17

JochenX

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Zitat:

Original von 20_Cent
für $\begin{eqnarray*} z=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ kommt beim quotientenkriterium doch 1 raus, oder? Das heißt doch, keine Aussage.

das ist ja der witz, dass bei dem kriterium dann am ende für die ränder immer limsup(folge)=1 ist.....
darum müssen (normalerweise!) extra die beien ränder betrachtet werden!

31.12.2005, 18:18

20_Cent

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Ist aber auch egal, da Jay14 ja sowieso mit dem Quotientenkriterium gearbeitet hat, wo man alles (!!) direkt sehen konnte.

Gruß MSS

das hier interessiert mich eben.

mfg 20

31.12.2005, 18:42

Mathespezialschüler

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Stimmt, da hab ich mich geirrt. Sorry.

Gruß MSS

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