lineare abb. zählen

31.12.2005, 17:36	penizillin	Auf diesen Beitrag antworten »
lineare abb. zählen hallo! wollte euch (mal wieder) bitten, meinen ansatz zu bewerten. K ist ein körper mit sage und schreibe 13 elementen. gesucht ist die anzahl der lin.abb. von $\begin{eqnarray} K^2 \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ . mein gedanke war: jede lin.abb. wird doch eindeutig durch eine darstellungsmatrix repräsentiert. also suche ich nach einer matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \phi: v \rightarrow Av \end{eqnarray}$ , wobei (hier bin ich mir unsicher) $\begin{eqnarray} v = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} v \in K^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , weil $\begin{eqnarray} Av \in K \end{eqnarray}$ sein muss. somit wäre $\begin{eqnarray} \phi: \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \rightarrow xa + yb \end{eqnarray}$ so war mein erster gedanke, dass ich $\begin{eqnarray} 13^2 = 169 \end{eqnarray}$ abbildungen habe, da ich auf 169 verschiedene arten die matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ zusammenstellen kann. doch (genau wie in meinem letzten thread) muss man wohl auch hier "linear abhängige" matrizen nur ein mal zählen. ist dem so? oder habe ich bereits einen schlechten ansatz gewählt? danke!
31.12.2005, 18:14	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
beachte: K^2 hat 2 Basisvektoren; eine lineare abbildung ist durch die baisbilder festgelegt sind alle basisbilder gleich, ist die abbildung gleich, ist ein basisbild anders, dann ist die abbildung anders 2 basisvektoren mit je 13 möglichen bildern, macht insgesamt 13*13 kombinationen 169 lin. abb. ist also RICHTIG
31.12.2005, 19:27	penizillin	Auf diesen Beitrag antworten »
auch das ist einleuchtend... wobei... eine frage habe ich noch: warum hat jeder basisvektor 13 bilder? weil jedem element aus $\begin{eqnarray} K^2 \end{eqnarray}$ genau ein element aus $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ zugeordnet wird, während es nur 13 elemente enthält? also war mein ansatz doch verkehrt, der wert "am ende" stimmte rein zufällig danke für die hilfe!
01.01.2006, 04:59	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
jeder basisvektor hat 13 mögliche bilder ist natürlich genauer ist es dann klar? anders gesagt: Anzahl Hom(K^2,K)=Anzahl lAbb(Basis(K^2),K) vielleicht verstehst dus so besser edit: ich glaube nicht, dass dein ansatz falsch ist.... genauer genommen sieht der teilweise zumindest richtig aus, aber um die uhrzeit und nach dem .... bestätige ich das nicht ganz einfache überlegung führt auch zu 169 belegungen für (x,y) in deiner abbildung.... gibt eben mehrere wege....

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