Frage zumEinheitsvektor/senkrechtenVektor einer Ebene |
| 09.05.2008, 20:27 | MaxRockatansky | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Frage zumEinheitsvektor/senkrechtenVektor einer Ebene Ich bin neu hier und hoffe, das mir jemand helfen kann. Ich bereite mich grad für eine Klausur vor, in der u.a. Vektorrechnung Thema ist. Zuerst einmal worum es geht, dann meine Frage : Ein Vektor F ,dessen Betrag bekannt ist, steht senkrecht auf der Ebene E mit den Richtungsvektoren a und b. Es sollen die drei vekroriellen Komponenten dieses Vektor F (Fx,Fy,Fz) ermittelt werden. Die Lösung soll so gehen : Es wird der Normalenvektor der Ebene (mittels der Richtungsvektoren) gebildet. Dieser wird anschließend normiert, um den Einheitsvektor e zu erhalten. Das Ergebnis soll dann das Produkt aus dem Einheitsvektor mit der Länge (Betrag) des gegebenen, senkrecht auf der Ebene stehenden Vektors F sein. Was ich nicht verstehe : 1. Hat jeder senkrecht auf dieser Ebene stehende Vektor den gleichen Einheitsvektor ? bzw. warum könnte man mit jedem auf der Ebene senkrecht stehenden Vektor so verfahren ? 2. sollen die gegebenen Richtungsvektoren der Ebene zugehörig sein, oder dem senkrecht darauf stehenden Vektor F ?? (im letzteren Fall würde mir die Antwort auf meine Frage evtl. leichter fallen, aber ich bin mir nicht sicher...) Vektorrechnung ist manchmal logisch, hat ab und zu aber so ihre Tücken... |
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| 09.05.2008, 21:03 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Verschoben
Nein, die Lösung ist auch falsch, denn der Vektor ist ja gar nicht eindeutig bestimmt. Du kannst dir das Ganze so vorstellen, dass du dir irgendeinen Punkt auf der Ebene nimmst und dir die zu der Ebene senkrechte und durch den Punkt gehende Gerade anguckst. Jeder Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht, zeigt dann auf einen Punkt auf dieser Geraden, wenn du ihn am gewählten Punkt auf der Ebene ansetzt. Die Richtung aller zur Ebene senkrechten Vektoren ist also gleich! Es gibt aber zwei Einheitsvektoren mit dieser Richtung, einmal den mit der Länge Eins, der auf einen Punkt "über" der Ebene zeigt und einmal den mit der Länge Eins, der auf einen Punkt "unter" der Ebene zeigt. Genau deswegen ist die Lösung auch nicht richtig.
Diese Frage verstehe ich nicht. Die Richtungsvektoren sind eben die Richtungsvektoren der Ebene. So viel haben die mit dem Vektor erstmal nicht zu tun. |
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| 09.05.2008, 21:30 | MaxRockatansky | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Vielen Dank für die Antwort ! Also die Aufgabe habe ich nur prinzipiell wiedergegeben. Es gehören schon Werte dazu. Sie stammt übrigens aus dem Papula Übungsbuch (Aufg.H8) - somit auch die Lösung. Das es zwei Lösungen gibt, ist mir eigendlich auch klar, jedoch nicht, warum der Einheitsvektor der Ebene zugleich ein Bestandteil des gesuchten Vektors F ist bzw. warum man seine Komponenten daraus bestimmen kann. |
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| 09.05.2008, 22:05 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Naja gesucht sind halt die Komponenten eines Vektors. Seine Länge ist bekannt. Durch das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren oder einem entsprechenden LGS erhälst du irgendeinen Normalenvektor deiner Ebene, einen Normalenvektor mit irgendeiner Länge. Man normiert somit diesen Normalenvektor um ihm eine bestimmte Länge zu verpassen, nämlich die Länge 1. Es bleibt richtungsmäßig derselbe, nur eben die Länge ist nun anders, was aber nichts an seiner Funktion als Normalenvektor ändert. Wenn man ihn dann normiert , also durch seine Länge dividiert hat, und ihn dann entsprechend durch Multiplikation mit der gegebenen Länge anpasst, dann erhält man die Komponenten eines der gesuchten Vektoren. Ändert man die Orientierung erhält man den zweiten. Gruß Björn |
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| 09.05.2008, 22:13 | MaxRockatansky | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
...ich glaube jetzt den Kern meines "Problems" gefunden zu haben : Im Grunde ist meine Vorstellung, dass der Normalenvektor der Ebene auf einer Ecke der dieser steht, also örtlich auf dieser festgelegt ist, hingegen der gesuchte Vektor bzw. dessen Komponenten (sein Betrag ist ja bekannt) ja irgendwo auf der Ebene stehen kann. Wie man also den Normalenvekto bzw. den Einheitsvektor (für den in meine Welt das gleiche gilt wie für den Normalenvektor) mit dem gesuchten Vektor in Verbindung bringt, ist mir nicht klar !! Darum geht es ! (der Einheitsvektor der Ebene steht für mich deshalb auf einer Ecke der Ebene, weil er ja das Kreuzprogukt der beiden Richtungsvektoren, welche ja in der Ebene liegen und diese sogar meinem Verständnis nach aufspannen, ist.) |
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| 09.05.2008, 22:20 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Vektoren sind ortsunabhängig - alle solchen Vektoren mit derselben Länge, die in dieselbe Richtung zeigen sind GLEICH, gehören also zur selben Vektorklasse. Erst durch eine Gerade, die aus einem Stützvektor besteht wird durch eben diesen Stützvektor eine bestimmte Lage im Koordinatensystem festgelegt. Analog legt auch der Stützvektor einer Ebene eine eindeutige Lage dieser Ebene fest. Einem Vektor alleine kann man also KEINE konkrete Position zuordnen. |
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| 09.05.2008, 22:31 | MaxRockatansky | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hey - vielen, vielen Dank für deine Antwort ! Das war mir bisher nicht klar ! Und als Stützvektor kann man die beiden Richtungvektoren der Ebene ansehen, weil ja der gesuchte Vektor, der nur vom Betrage her bekannt ist, senkrecht auf dieser stehen soll, richtig ?? Nochmal zum Verständnis : sobald zwei Vektoren linear abhängig sind, sind sie parallel (kolinear) und unterscheiden sich lediglich vom Betrag her. zB. (2,3,5) u. (4,6,10) Zeigen die dann also in die gleiche Richtung, oder liegen sie sogar auf einer Geraden ? (oder trifft sogar beides zu?) ...man bin ich froh, dass mir das mal einer erklären kann ! |
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| 09.05.2008, 22:59 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nein, der Stützvektor ist schon einer von keinem Parameter abhängiger, also ein Vektor mit fester Länge da. Die beiden linear unabhängigen Richtungsvektoren spannen die Ebene sozusagen auf, sie dürfen wie du richtig sagtest also keine Vielfachen voneinander sein, da es sich sonst um eine Gerade handeln würde.
Das ist korrekt.
In dieselbe Richtung ja, auf der selben Geraden im Allgemeinen nein, denn ihre Position ist ja nicht festgelegt. |
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| 10.05.2008, 00:01 | MaxRockatansky | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Und dass ist deshalb möglich, weil dieser normierte Normalenvektor, oder auch Einheitsvektor, in die gleiche Richtung zeigt ,wie der gesuchte Vektor, richtig ? Also liegt eine Kolinearität vor und die Komponenten des Einheitsvektors kann man also als Richtungsangabe (Richtungskomponenten) des gesuchten Vektor annehmen, auch richtig ? Aber warum muß man dazu den Normalenvektor normieren ?? Der müßte doch auch bereits in die gleiche Richtung zeigen, kolinear sein, und sich lediglich vom Betrag unterscheiden, da er doch linear abhängig ist ? |
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| 10.05.2008, 00:25 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
In welche Richtung der gesuchte Vektor zeigt ist völlig egal, da ja eh nur die konkrete Länge als notwendige Eigenschaft verlangt ist.
Da weiss ich nicht genau was du mir sagen willst...
Es ist doch ein Vektor gesucht, der senkrecht zu einer gegebenen Ebene steht - einen solchen Vektor bezeichnet man eben als Normalenvektor. Sieh das ganze doch als Dreisatzaufgabe mit Vektoren: Du hast eine Ebene gegeben, die von 2 linear unabhängigen Richtungsvektoren a und b aufgespannt wird. Gesucht ist zunächst mal ein Vektor, der zu dieser Ebene senkrecht steht, also auch senkrecht zu den beiden Spannvektoren. Hat man einen solchen Vektor dann bestimmt (welche Methode ihr da auch immer benutzt), dann ist es erstmal uninteressant wie er orientiert ist - entscheidend ist einzig und allein seine charakteristische Richtung. Zufällig könnte es jetzt sein, dass dieser Vektor schon die gewünschte Länge hat, normalerweise ist es aber nicht so und nun kommt der Dreisatzgedanke ins Spiel: Wenn du also eine bestimmte Länge erzeugen willst, dann bringe den Vektor erstmal auf die Länge 1 und wenn der Vektor dann auf eine Länge von z.B. 8 LE gebracht werden soll, dann multiplizierst du ihn wieder mit 8. Da man hierzu ja jede der Komponente im Vektor mit DERSELBEN Zahl multipliziert, entsteht dadurch also ein Vielfaches des ursprünglichen Vektors - die beiden Vektoren wären damit kollinear, also linear abhängig. |
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| 11.05.2008, 10:09 | MaxRockatansky | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also ich meine das so : Vom gesuchten Vektor ist ist ja lediglich die Länge bekannt. Der Einheitsvektor ist hingegen richtungsmäßig definiert. So - und weil ja beide Vektoren senkrecht auf der Ebene stehen, somit also parallel sein müßen, unterscheiden sie sich meiner Ansicht nach lediglich in der Länge. Die gesuchten Komponenten lassen sich also über die des Einheitsvektors ermitteln, da ja durch die Parallelität eine lineare Abhängigkeit herrscht, die Komponenten des Einheitsvektors also ein Vielfaches derer des gesuchten Vektors sind. Liege ich damit richtig ? |
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| 11.05.2008, 14:45 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wenn du das ausschließlich im Zusammenhang mit diesem Beispiel meinst hast du Recht. Im Allgemeinen ist ein Einheitsvektor natürlich richtungsmäßig nicht festgelegt, er muss einfach nur die Länge 1 haben, wohin er zeigt ist nur dann wichtig, wenn noch weitere Bedingungen (wie hier seine Eigenschaft als Normalenvektor) an ihn geknüpft sind. |
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| 11.05.2008, 16:25 | MaxRockatansky | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
...ja, genauso meine ich das ! Was allerdings dann immernoch unklar ist : Wenn zwei Vektoren kollinear sind, so liegen sie lt. meinen Unterlagen auf einer Geraden und unterscheiden sich lediglich vom Betrage. Kollinear heißt aber doch parallel bzw. in eine Richtung zeigend , oder ? Die bisher diskutierten Vektoren unterscheiden sich aber doch auch nur vom Betrage und liegen nicht auf einer Geraden bzw. nicht zwangsläufig.... |
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| 11.05.2008, 21:26 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Dein Problem ist, dass du die Definition eines Vektors (noch) nicht ganz verstanden hast: Ein Vektor des Raumes n (3) ist die Gesamtheit aller gleich gerichteten (parallelen), gleich langen und gleich orientierten Pfeile des Raumes n (3). Betrachtest du nun gerade nur einen einzigen Pfeil, so ist dies (nur) ein Repräsentant dieser Menge. Wir sehen also, dass man bei einem Vektor nicht von einer bestimmten Lage sprechen kann. Repräsentanten kollinearer Vektoren können daher sowohl AUF einer Geraden liegen als auch parallel zu dieser, diese Lagen sind demzufolge vollkommen unerheblich. Conclusio: Alle Normalvektoren einer Ebene sind kollinear, weil sie sich nur durch den Betrag unterscheiden. Dabei ist es egal, ob diese IN einer Geraden liegen oder beliebig parallel zu dieser. mY+ |
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