anzahl der elemente der lösungsmenge eines lgs

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penizillin Auf diesen Beitrag antworten »
anzahl der elemente der lösungsmenge eines lgs
hallo!

würde mich freuen, wenn sich jemand wieder meinen ansatz anschauen würde!

gegeben:
    K ein körper mit 3 elementen (ich nenne sie, wie letztes mal, "-1", "0" und "1").

    ein homogenes lgs

    mit



gesucht:
anzahl der elemente der lösungsmenge des lgs:

meine überlegung hierzu:

aus

folgt, dass der lösungsraum die dimension 1 hat, also hat eine basis des lösungsraumes genau einen vektor.

reicht es zu behaupten, dass dieser vektor über diesem körper auf arten zusammengesetzt werden kann (8 ohne den nullvektor), ergo sind es 9 elemente in der lösungsmenge? muss ich berücksichtigen, dass ich von jedem basisvektor 2 weitere linearkombinationen basteln kann? oder ist es gar ganz andersrum und der raum enthält nur einen basisvektor und 2 seiner lin.komb., also 3 stück insgesamt?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

richtig ist: eindimensionaler lösungsraum
falsch ist:
Zitat:
reicht es zu behaupten, dass dieser vektor über diesem körper auf 3*3 = 9 arten zusammengesetzt werden kann (8 ohne den nullvektor), ergo sind es 9 elemente in der lösungsmenge?

das verstehe ich gar nicht, was wilst du uns damit sagen?

Zitat:
oder ist es gar ganz andersrum und der raum enthält nur einen basisvektor und 2 seiner lin.komb., also 3 stück insgesamt?

3 stimmt, aber bitte genauer begründen......
penizillin Auf diesen Beitrag antworten »

die formulierung ist in der tat ausgesprochen wirr. ich meinte - da ich es mit einem 1-dim. raum zu tun habe, kann man zu dem einzigen basisvektor zwei weitere lin.komb. bilden (die dritte - "multiplikation mit dem eins-element" - lasse ich außer acht). dabei entsteht ein lösungsraum mit 3 elementen:
- dem null-vektor
- dem basisvektor selbst und
- dem "additiv-inversen" des basis-vektors

die überlegung mit 9elementen entspringt der überlegung, dass ich 9 verschiedene lösungsräume bilden kann (weil ich 8 verschiedene basen finden kann plus ein zusätzlicher "nullvektor"-raum bestehend nur aus dem nullvektor), allerdings hat jeder von denen höchstens 3 elemente. ist das richtig?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

dein lösungsraum hat 3 eindeutige elemente nicht 9

als einfachste formulierung: ein erzeugender vektor v, daraus gibt es 3 linearkombinationen (0*v,1*v,(-1)*v))
ich glaube, du hast das verstanden
penizillin Auf diesen Beitrag antworten »

alles klar, vielen vielen dank!!
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