Typische Klausuraufgabe

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PostalService Auf diesen Beitrag antworten »
Typische Klausuraufgabe
Hallo!

Ich habe mich dieses Semester fast nur auf Differentialgleichungen konzentriet und das erste Thema erstmal etwas schleifen lassen! verwirrt
In alten Klausuren stoße ich jetzt daher immer wieder auf den Aufgabentyp, welchen ich als Grafik angehängt habe, und komme nicht wirklich weit!

Ich hoffe, dass ihr mir helfen könnt, einen Einstieg in diese Aufgaben und einen möglichen Lösungsweg zu finden!

Vielen DANK!

PS
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

spare dir doch bitte attribute im titel wie "hilfe"
dass du hier postest, weil du hilfe suchst, können wir uns denken und es schreckt eher ab
titel gekürzt

zur sache: typische ana3 vorlesung, das hat aber eher nix mit DGLn, sondern eher mit satz von stokes/gauß zu tun
das habe ich aber alles wieder verdrängt, deswegen nichts zur sache selbst......
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Typische Klausuraufgabe
Also zuerst a): Geben Sie eine Parameterdarstellung von F an.

Dazu braucht man eine ungefähre Vorstellung und natürlich eine Darstellung der Fläche. F ist auf dem oberen Halbkreis mit Radius 2 definiert und hat als z-Koordinate einfach .

Da bietet es sich z.B. an Polarkoordinaten für die Flächenparametrisierung zu verwenden.

zu b): Als erstes musst du den Normalenvektor und die Rotation von f ausrechnen. Dann kannst du mit dem Ergebnis von a) das Integral hinschreiben.

zu c) verläuft genau über der x-Achse und ist eine Parabel. Zuerst die Parametrisierung hinschreiben und dann das Integral.

zu d) ist die andere "Grenze" der Fläche. Auch hier Parametrisierung hinschreiben und dann das Integral.

Nach dem Stokeschen Integralsatz kannst du jetzt die Ergebnisse checken.

Grüße smile
Abakus
PostalService Auf diesen Beitrag antworten »

Merci.....werde mich dann mal an die Arbeit machen und die Ergebnisse dann hier posten!

danke, danke, danke
PostalService Auf diesen Beitrag antworten »

So, hier wären dann meine "Ergebnisse"!

Ich vermute, dass da nicht nur ein Fehler drin ist....ich muss auch zugeben, dass ich nicht wirklich verstanden habe, was ich da gemacht habe! Wieso muss ich z.B. diese Parameterform in a) aufstellen? Das macht doch keinen Sinn? Oder??

Danke
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

zu a) Du brauchst eine Gleichung für die Fläche und um eine Fläche zu beschreiben brauchst du 2 Parameter (entsprechend 2 Dimensionen), hier wären das r und .

In deiner ersten Gleichung bei a) hast du nur eine Variable (wenn ich das richtig entziffert hab, womit du nur den Rand der Fläche beschreiben würdest?). Jedenfalls kommst du zu einer Parametrisierung, die nicht aus Zylinderkoordinaten besteht (bei r=0 bist du bei F(0, .) = (0, 2, 0)).

Das mag auch funktionieren (ich habe es nicht überprüft), dürfte jedoch deutlich komplizierter werden. Ich würde von folgender Parametrisierung ausgehen:



mit .


zu b) Deine Normale (wie hast du die überhaupt berechnet?) kommt nicht hin. Die Normale sollte von den Koordinaten abhängig sein, weil die Fläche ja nicht gerade ist.

Betrachte .

Wie du auf die Rotation kommst, sehe ich nicht (hier fehlt einfach die Rechnung). In der dritten Komponente hab ich was anderes.


Erstmal soweit. Wenn du deine Rechnungen hier mit Latex postest, könnte ich besser folgen.

Grüße smile
Abakus
 
 
PostalService Auf diesen Beitrag antworten »

mhhh....also ich rechne mir jetzt hier nen Wolf! Und weiss im Prinzip überhaupt nicht, was ich zu tun habe!

Ich finde deine Parameterdarstellung ja schon recht merkwürdig: du gehst doch gar nicht auf die Abhängigkeit von y und x ein? Oder sehe ich das falsch...

Ist bei der Berechnung der Normalen zu erst die partiellen Ableitungen zu bilden???

Dann ist das Vektorfeld ja in kartesischen Koordinanten angegeben? Muss ich diese auch in Polarkoordinaten ausdrücken, bevor ich die Rotation dieses Vektorfeldes berechnen kann?

Irgendwie macht das alles für mich nicht seh viel Sinn...
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von PostalService
Ich finde deine Parameterdarstellung ja schon recht merkwürdig: du gehst doch gar nicht auf die Abhängigkeit von y und x ein? Oder sehe ich das falsch...


Es ist ja gefordert. Wenn du die Parameter für x und y einsetzt, bekommst du . Das stimmt für den gewählten Bereich von r.

Zitat:

Ist bei der Berechnung der Normalen zu erst die partiellen Ableitungen zu bilden???


Ja, genau. Der Normalenvektor ist Kreuzprodukt der partiellen Ableitungen (Damit steht dieser auf der Fläche senkrecht).

Zitat:

Dann ist das Vektorfeld ja in kartesischen Koordinanten angegeben? Muss ich diese auch in Polarkoordinaten ausdrücken, bevor ich die Rotation dieses Vektorfeldes berechnen kann?


Das kannst du, dann müsstest du aber wissen, wie du die Rotation in Zylinderkoordinaten berechnest. Besser ist hier, die Rotation in kartesischen Koordinaten zu berechnen und dann erst die Zylinderkoordinaten einzusetzen.

Ich sehe auch gerade, dass es nicht einfach zu rechnen ist. Ich hätte anzubieten:





und
(bisher nicht normiert, aber orientiert wie gefordert)

sowie .

Bis dahin ok?

Grüße smile
Abakus
PostalService Auf diesen Beitrag antworten »

So langsam fange ich an, einen Überblick über die ganze Sache zu verschaffen!

Hier ist jetzt mein Stand der Dinge:





Damit wird mein Integral zu:



Jetzt weiss ich allerdings nicht, wie ich das Flächenelement dS in meine Polarkoordinaten umwandeln soll...in meiner Formelsammlung (Papula) sind zu diesem Thema nur Zylinder und Kugelkoordinaten erwähnt...
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Soweit also ok. Freude

Nun setze



.

Im wesentlichen kürzt sich jetzt der Nenner deines Bruches wieder raus und es kommt nur zusätzlich ein r dazu (Im Prinzip ist das das r, was bei der Substitution von Zylinderkoordinaten nach Subst.-regel dazukommt).

Das entstehende Integral lässt sich mit etwas cos-sin-Betrachtungen (Symmetrien ausnutzen, es ist einiges = 0) als Doppelintegral auswerten dann. Die Integrationsgrenzen sollten vom Parameterbereich her klar sein.


zu c) d)
Beachte hier die richtige Formel:



Wichtig ist hier, dass mit der Ableitung multipliziert wird. c) ist der einfachere Teil, bei d) ist eine Möglichkeit, die Kurve mit Polarkoordinaten zu parametrisieren.

Grüße smile
Abakus
PostalService Auf diesen Beitrag antworten »

Das sieht dann alles ja viel besser aus!

Habe für das Integral jetzt raus...

Eine Unklarheit hätte ich aber noch: Wie kann ich die geforderte Orientierung überprüfen, mit anderen Worten:

Was ist ??
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

, überprüfen durch Skalarprodukt bilden dann.

Dein Ergebnis kommt nicht hin unglücklich , und deine Kurvenintegrale sind noch zu rechnen (du könntest dein Ergebnis nach der Integration über r zB mal posten).

Grüße smile
Abakus


EDIT:

Hier die Ergebnisse:





PostalService Auf diesen Beitrag antworten »

Jo, jetzt hab ich's auch raus!

Nochmal vielen Dank, dass du dir die Zeit genommen hast, um dich meiner anzunehmen!

Aber sei beruhigt! Werde mich bestimmt nochmal melden!! ;-P

PS
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