Affiner Unterraum, Eigenschaften.

02.01.2006, 17:51	InfoStudent	Auf diesen Beitrag antworten »
Affiner Unterraum, Eigenschaften. Hallo, (Und ein Frohes neues Jahr :dance ich hab mal wieder Probleme bei einer Aufgabe: Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und x := v + U ein affiner Unterraum von V, Zeigen sie: I. $\begin{eqnarray} U = \{v_1 - v_2 \| v_1, v_2 \in X \} \end{eqnarray}$ . Insbesondere ist der Richtungsraum also eindeutig bestimmt. II. Für alle $\begin{eqnarray} v \in X \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} X = v + U \end{eqnarray}$ . Insbesondere ist ein affiner Unterraum X genau dann ein Unterraum von V, wenn $\begin{eqnarray} 0_v \end{eqnarray}$ (Das neutrale Element von V) $\begin{eqnarray} \in X \end{eqnarray}$ . III. Es sind folgende Aussagen äquivalent: a). $\begin{eqnarray} v_0, ... , v_r \end{eqnarray}$ sind affin Unabhängig. b). Es gibt genau einen r-dim. affinen Untervektorraum von V, der $\begin{eqnarray} v_0, ..., v_r \end{eqnarray}$ enthält. Zu I, ich weiß weder wie ich dies zeige, noch wie aus diesem die Eindeutigkeit folgt. (Ich muss die Eindeutigkeit zwar nicht zeigen aber verstehen würde ich es schon gerne) Zu II, hab ich erneut keine Ahnung wie ich dies zeigen kann Zu III, die Implikation von b) nach a) ist kein großes Problem, aber wie schließe ich von a) auf b)? Kann ich dazu ggf. Aufgabenteil I benutzten? Ich weiß, man legt hier großen Wert auf selber denken, aber das ist wirklich alles, was mir zu dieser Aufgabe einfällt
02.01.2006, 18:21	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Affiner Unterraum, Eigenschaften. zu I erstmal: zeige beide Inklusionen. Nimm also ein Element der Menge auf der einen Seite und zeige, dass es auch in der anderen ist und andersrum. Zur Eindeutigkeit: nimm an, es gibt 2 solche Richtungsräume und zeige dann, dass beide gleich sein müssen. Bei diesem Beweis sollte dir dann die Idee für II kommen. zu III: klar, wenn du I und II gezeigt hast, kannst du diese Ergebnisse natürlich benutzen. Grüße Abakus
04.01.2006, 12:55	InfoStudent	Auf diesen Beitrag antworten »
Also Aufgabeteil I habe ich jetzt beendet, aber zu Aufgabenteil II fällt mir immer noch nichts ein, auch nach deinem Tip nicht, ggf. hab ich ja die Eindeutigkeit falsch gezeigt: Sei $\begin{eqnarray} U = \{ a_1 - a_2 \| a_1, a_2 \in X \} \end{eqnarray}$ eine weitere Darstellung, so gilt: $\begin{eqnarray} \{ v_1 - v_2 \| v_1, v_2 \in X \} = U = \{ a_1 - a_2 \| a_1, a_2 \in X \} \end{eqnarray}$ , also ist z.z.: Für alle $\begin{eqnarray} v_1, v_2, a_1, a_2 \in X \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} v_1 - v_2 \subset a_1 - a_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a_1 - a_2 \subset v_1 - v_2 \end{eqnarray}$ Dies ist aber nur möglich, wenn $\begin{eqnarray} a_1 = v_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a_2 = v_2 \end{eqnarray}$
04.01.2006, 18:23	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
Nochmal zu I, zu zeigen ist, wenn du die Inklusionen zeigen willst: Ia) $\begin{eqnarray} U \subset \{ v_1 - v_2 \| v_1, v_2 \in X \} \end{eqnarray}$ Das bedeutet, du musst dir ein Element aus U hernehmen und zeigen, dass es in der Menge auf der rechten Seite ist. Eine mögliche Argumentation wäre: Sei also $\begin{eqnarray} z~\in~U \end{eqnarray}$ , dann sind wegen der Unterraum-Eigenschaft auch $\begin{eqnarray} \frac{z}{2}~\in~U \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{-z}{2}~\in~U \end{eqnarray}$ . Nach der Definition von X gilt dann: $\begin{eqnarray} (v~+~\frac{z}{2})\in~X \end{eqnarray}$ und auch $\begin{eqnarray} (v~-~\frac{z}{2})\in~X \end{eqnarray}$ . Die Differenz von beiden ist daher in der rechten Menge: $\begin{eqnarray} z = (v~+~\frac{z}{2}) - (v~-~\frac{z}{2})~\in~\{ v_1 - v_2 \| v_1, v_2 \in X \} \end{eqnarray}$ . Genau das war bei dieser Inklusion zu zeigen. Ib) $\begin{eqnarray} \{ v_1 - v_2 \| v_1, v_2 \in X \} \subset U \end{eqnarray}$ Das müsste dann ähnlich gehen. Ic) Wenn du beide Inklusionen gezeigt hast, müssen beide Mengen gleich sein. Id) zur Eindeutigkeit von U: Sei $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ nun ein weiterer Unterraum mit $\begin{eqnarray} X = v + V \end{eqnarray}$ . Behauptung: dann gilt $\begin{eqnarray} U = V \end{eqnarray}$ . Beweis: Auch hier könntest du beide Inklusionen zeigen und dabei die schon gezeigte Eigenschaft benutzen. Wesentlich ist: Inklusion ist eine Beziehung zwischen Mengen. So etwas zeigst du allgemein, indem du dir ein Element der inklusionskleineren Menge hernimmst und zeigst, dass es auch Element der anderen Menge ist: Sei also $\begin{eqnarray} z \in U \end{eqnarray}$ . Dann gibt es Elemente $\begin{eqnarray} v_1, v_2 \in X \end{eqnarray}$ , so dass gilt: $\begin{eqnarray} z = v_1 - v_2 \end{eqnarray}$ . Dann .... Grüße Abakus EDIT: Schreibfehler rausgeschmissen.
05.01.2006, 14:14	InfoStudent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich danke dir für diese schöne Erklärung

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