Scheitelpunkte einer Elipse bestimmen

10.05.2008, 11:40

toobee

Scheitelpunkte einer Elipse bestimmen

hi,

hab hier eine Scheitelpunktaufgabe mit lagrange extremstellen-bestimmung. wie im thema steht soll ich die scheitelpunkte einer elipse bestimmen.

Mal die Aufgabenstellung:

Die Scheitelpunkte einer Ellipse sind diejenigen Punkte, deren Entfernung $\begin{eqnarray*} d = \sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ vom Nullpunkt am größten bzw. am kleinsten ist. Bestimmen Sie die Scheitelpunkte der durch die Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2 + xy + y^2-3 = 0 \end{eqnarray*}$ definierten Ellipse, deren Mittelpunkt ja im Nullpunkt liegt, mit der Methode von Lagrange.

hab meine Lagrange Funktion so aufgestellt und berechnet, wäre gut wenn jemand mir sagen könnte ob das so passt.(reicht wenn jemand überfliegt und das prinzip des vorgehens begutachtet, ist ja nicht unbedingt wenig was ich hier hab)

$\begin{eqnarray*} F(x,y,\lambda) = x^2+y^2+\lambda(x^2+xy+y^2-3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F_x(x,y,\lambda) = 2x+2\lambda x+y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F_y(x,y,\lambda) = 2y+2\lambda y + x \end{eqnarray*}$

Nach lambda auflösen
$\begin{eqnarray*} \lambda = \frac{-2x-y}{2x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda = \frac{-2y-x}{2y} \end{eqnarray*}$

Gleich setzen und nach x auflösen
$\begin{eqnarray*} \frac{-2x-y}{2x} = \frac{-2y-x}{2y} \end{eqnarray*}$
(spar mir die zwischenschritte beim auflösen)
$\begin{eqnarray*} x = \pm y \end{eqnarray*}$

jetzt in die nebenbedinung einsetzen:
$\begin{eqnarray*} x^2+xy+y^2-3=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y^2+yy+y^2-3=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3y^2-3=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3y^2=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y^2=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=\pm 1 \end{eqnarray*}$

fall 1: y =-1
$\begin{eqnarray*} x^2 + (-1)x + -1^2 -3 =0 \end{eqnarray*}$
(zusammenfassen und p/q formel anwenden)
$\begin{eqnarray*} x_1 = 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2=-1 \end{eqnarray*}$

fall 2: y = 1
$\begin{eqnarray*} x^2+1*x + 1^2 -3=0 \end{eqnarray*}$
(zusammenfassen und p/q formel anwenden)
$\begin{eqnarray*} x_1 = -2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 = 1 \end{eqnarray*}$

durch lagrange weis ich das $\begin{eqnarray*} x = \pm y \end{eqnarray*}$ sein muss dadurch fallen die lösungen -2 und 2 für den x wert weg.

D.h. meine Scheitepunkte sind an der Stelle P(1,1) und P(-1,-1)

Wenn ich das ganze mit meinem Mathe-Programm berechnen lassen wirft es mir noch eine dritte stelle aus.....hab ich was vergessen oder hab ich was falsch gemacht?

10.05.2008, 12:00

WebFritzi

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RE: Scheitelpunkte einer Elipse bestimmen

Zitat:

Original von toobee
jetzt in die nebenbedinung einsetzen:
$\begin{eqnarray*} x^2+xy+y^2-3=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y^2+yy+y^2-3=0 \end{eqnarray*}$

Du hast x = -y vergessen. Augenzwinkern

10.05.2008, 12:55

toobee

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ah, ok
$\begin{eqnarray*} x^2+xy+y^2-3=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (-y)^2+(-y)y+y^2-3=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y^2-y^2+y^2-3=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y^2-3=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y^2=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=\pm \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

x-bestimmen für $\begin{eqnarray*} + \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2+\sqrt{3}x+(\sqrt{3})^2-3=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2+\sqrt{3}x=0 \end{eqnarray*}$
(p/q-formel anwendne)
$\begin{eqnarray*} x_1=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 = -\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

x-bestimmen für $\begin{eqnarray*} - \sqrt{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2-\sqrt{3}x+(-\sqrt{3})^2-3=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2-\sqrt{3}x=0 \end{eqnarray*}$
(p/q-formel anwenden)
$\begin{eqnarray*} x_1=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 = \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

das bringt mir jetzt die punkte
$\begin{eqnarray*} P_3(\sqrt{3}|-\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P_4(-\sqrt{3}|\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$

mein Matheprogramm wirft mir aber jetzt nur meinen P_4 als gültige antwort raus, wieso ist p_3 kein scheitelpunkt, die bed $\begin{eqnarray*} x=\pm y \end{eqnarray*}$ ist doch erfüllt

10.05.2008, 13:42

WebFritzi

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Dann ist dein Programm schlecht. Augenzwinkern

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