Untegruppen von D_4

10.05.2008, 11:54

Fletcher

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Untegruppen von D_4

Guten Tag,

es geht mir um folgende Aufgabe, welche von vornherein schon als schwierig klassifiziert wird, deshalb frage ich mich, ob ihr die so einfach hinbekommt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Es geht um die Dihedrale Gruppe $\begin{eqnarray*} D_4 \end{eqnarray*}$ . Finde Untergruppen H und K von $\begin{eqnarray*} D_4 \end{eqnarray*}$ mit H normale Untegruppe von K. K normale Untegruppe von $\begin{eqnarray*} D_4 \end{eqnarray*}$ , aber H keine normale Untergruppe von $\begin{eqnarray*} D_4 \end{eqnarray*}$ .

Hat jemand eine Idee?

10.05.2008, 12:04

therisen

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Wie viele Elemente hat bei euch $\begin{eqnarray*} D_4 \end{eqnarray*}$ ?

10.05.2008, 12:09

Fletcher

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Gute Frage, ich nehme an n Drehungen und n Spiegelungen. Also 8

10.05.2008, 13:29

therisen

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$\begin{eqnarray*} D_8 \end{eqnarray*}$ ist isomorph zu der Untergruppe

$\begin{eqnarray*} G:=\langle\{(15)(26)(38)(47), (1324)(5768), (12)(34)(56)(78)\}\rangle \end{eqnarray*}$

von $\begin{eqnarray*} \mathfrak{S_8} \end{eqnarray*}$ . Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} K:=\langle\{(12)(34)(56)(78), (17)(28)(35)(46)\}\rangle \end{eqnarray*}$

ist ein Normalteiler von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} H :=\langle\{(18)(27)(36)(45)\}\rangle \end{eqnarray*}$

ist ein Normalteiler von $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ . Aber $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ ist kein Normalteiler von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ .

EDIT: Ich hatte vergessen $\begin{eqnarray*} \langle \rangle \end{eqnarray*}$ um K und H zu schreiben.

10.05.2008, 13:31

Fletcher

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Kannst du mal kurz erklären und erläutern wie du darauf gekommen bist? Wäre sehr nett

Es geht mir um die Symmetriegruppe des Vierecks, also $\begin{eqnarray*} D_4 \end{eqnarray*}$ , hast du dich da verschrieben, weil $\begin{eqnarray*} D_8 \end{eqnarray*}$ dasteht?

10.05.2008, 13:42

therisen

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Zitat:

Original von Fletcher
Kannst du mal kurz erklären und erläutern wie du darauf gekommen bist? Wäre sehr nett

Ich habe diese Lösung (es gibt noch 3 weitere) mit GAP gefunden. Programmierkenntnisse sind auch in der Algebra von Vorteil.

Zitat:

Es geht mir um die Symmetriegruppe des Vierecks, also $\begin{eqnarray*} D_4 \end{eqnarray*}$ , hast du dich da verschrieben, weil $\begin{eqnarray*} D_8 \end{eqnarray*}$ dasteht?

There are two competing notations for the dihedral group associated to a polygon with n sides. In geometry the group is denoted $\begin{eqnarray*} D_n \end{eqnarray*}$ , while in algebra the same group is denoted by $\begin{eqnarray*} D_{2n} \end{eqnarray*}$ to indicate the number of elements. (Quelle)

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10.05.2008, 14:05

Leopold

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Ein anderer Zugang:

$\begin{eqnarray*} D_4 \end{eqnarray*}$ hat 8 Elemente und wird erzeugt von einer Achsenspiegelung $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ und einer Drehung $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ des Quadrates um 90°:

$\begin{eqnarray*} D_4 = \left\{ e , d , d^2 , d^3 , s , sd , sd^2 , sd^3 \right\} \end{eqnarray*}$

Dabei hat $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ die Ordnung 2 und $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ die Ordnung 4. Mit $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ als Identität gelten die Relationen

$\begin{eqnarray*} s^2 = e \, , \ \ d^4 = e \, , \ \ sd = d^3 s \end{eqnarray*}$

Damit kann man alles berechnen. Zum Beispiel

$\begin{eqnarray*} (sd)^2 = (sd)(sd) = (sd)(d^3 s) = sd^4s =s^2 = e \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (sd^2)^2 = (sd^2)(sd^2) = (sd^2)(sd)d = (sd^2)(d^3s)d = s(d^2d^3)(sd) = (sd)(sd) = (sd)^2 = e \end{eqnarray*}$

Man kann sich überlegen, daß $\begin{eqnarray*} s,sd,sd^2,sd^3 \end{eqnarray*}$ die Achsenspiegelungen sind und $\begin{eqnarray*} d^2 \end{eqnarray*}$ die Punktspiegelung an der Mitte des Quadrates. Alle diese Elemente haben die Ordnung 2. Und damit kennt man schon alle Untergruppen der Ordnung 2. Weiter haben $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d^3 \end{eqnarray*}$ die Ordnung 4 und erzeugen jeweils die zyklische Untergruppe der Drehungen des Quadrates. Jetzt wäre zu überlegen, ob es überhaupt noch weitere Untergruppen der Ordnung 4 geben kann. Zyklische jedenfalls nicht. Die vom Einselement verschiedenen Elemente einer solchen Untergruppe müßten also die Ordnung 2 haben. Und da sollte man an die besondere Rolle von $\begin{eqnarray*} d^2 \end{eqnarray*}$ denken ...

EDIT

@ therisen

Irgendwie verwirrend. Ich dachte, $\begin{eqnarray*} D_4 \end{eqnarray*}$ sollte die Diedergruppe mit 8 Elementen, sprich die Symmetriegruppe des Quadrates sein. Wieso sprichst du dann von $\begin{eqnarray*} D_8 \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} D_4 \end{eqnarray*}$ hat schon ein isomorphes Bild in $\begin{eqnarray*} S_4 \end{eqnarray*}$ . Denkt man sich nämlich die Ecken des Quadrates der Reihe nach mit $\begin{eqnarray*} 1,2,3,4 \end{eqnarray*}$ durchnumeriert, etwa gegen den Uhrzeigersinn, so kann man die Spiegelung $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ an der Mittelsenkrechten der Kante $\begin{eqnarray*} 12 \end{eqnarray*}$ und die Drehung $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ um 90° gegen den Uhrzeigersinn durch

$\begin{eqnarray*} s = (12)(34) \, , \ \ d = (1234) \end{eqnarray*}$

als Permutation der Quadratecken charakterisieren. Es gelten also:

$\begin{eqnarray*} e = () \, , \ \ d = (1234) \, , \ \ d^2 = (13)(24) \, , \ \ d^3 = (1432) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s = (12)(34) \, , \ \ sd = (24) \, , \ \ sd^2 = (14)(23) \, , \ \ sd^3 = (13) \end{eqnarray*}$

Das sind sämtliche Elemente von $\begin{eqnarray*} D_4 \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} D_4 \end{eqnarray*}$ wird etwa von $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ erzeugt:

$\begin{eqnarray*} D_4 = \langle s , d \rangle \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} sd^2 \end{eqnarray*}$ sind Spiegelungen an den Mittelsenkrechten der Quadratseiten, $\begin{eqnarray*} sd \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} sd^3 \end{eqnarray*}$ dagegen Spiegelungen an den Diagonalen. $\begin{eqnarray*} d^2 \end{eqnarray*}$ ist die Punktspiegelung an der Quadratmitte (Drehung um 180°).

11.05.2008, 08:48

Fletcher

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Also ich meine mit D_4 auch die Drehgruppe des regulären Vierecks, so steht es auch in der Aufgabenstellung in Klammern dabei.

Leopald dein Zugang ist sehr anschaulich und ich werde ihn gleich mal in Ruhe nachvollziehen

11.05.2008, 11:20

therisen

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Zitat:

Original von Leopold
EDIT

@ therisen

Irgendwie verwirrend. Ich dachte, $\begin{eqnarray*} D_4 \end{eqnarray*}$ sollte die Diedergruppe mit 8 Elementen, sprich die Symmetriegruppe des Quadrates sein. Wieso sprichst du dann von $\begin{eqnarray*} D_8 \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

verwirrt

Geometer benutzen $\begin{eqnarray*} D_4 \end{eqnarray*}$ für die Diedergruppe mit $\begin{eqnarray*} 2\cdot 4=8 \end{eqnarray*}$ Elementen, Algebraiker $\begin{eqnarray*} D_8 \end{eqnarray*}$ . Der Isomorphismus $\begin{eqnarray*} D_8\cong G \end{eqnarray*}$ wurde mir standardmäßig von GAP geliefert. Ich bin mir nicht sicher wie GAP da genau vorgeht (Rechtstranslation ist es wohl nicht, evtl. Linkstranslation). Dass dieses Vorgehen aber i.a. nicht unbedingt optimal ist, ist kein Geheimnis (Satz von Cayley (Verwendung)). Übrigens hätte ich für GAP gar keinen Isomorphismus gebraucht (es war allerdings bequemer für mich).

12.05.2008, 22:18

Fletcher

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@Leopold

Ich habe versucht das ganze mal nachzuvollziehen und weiß noch nicht 100% ob ich die Rolle von dem Element $\begin{eqnarray*} d^2 \end{eqnarray*}$ richtig intepretiere, aber:

$\begin{eqnarray*} <s> \end{eqnarray*}$ ist bspw. eine Untergruppe von $\begin{eqnarray*} <d^2,s> \end{eqnarray*}$ , diese ist normal in $\begin{eqnarray*} <s,d^2> \end{eqnarray*}$ . Die Untergruppe $\begin{eqnarray*} <d^2,s> \end{eqnarray*}$ ist vom index 2 in $\begin{eqnarray*} D_4 \end{eqnarray*}$ und deshalb ein normale Untergruppe, aber die Untergruppe $\begin{eqnarray*} <s> \end{eqnarray*}$ ist keine normale Untergruppe in D_4, da:

$\begin{eqnarray*} d<s>=\{d,ds\}~aber~ <s>d=\{d,sd=d^3s\} \end{eqnarray*}$

Auch wenn es stimmen sollte habe ich es nicht so richtig verstanden und bin für den einen oder anderen Kommentar dankbar Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.05.2008, 16:10

Fletcher

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Schönen Tag nochmal,

ich muss die Aufgabe morgen abgeben und hätte gerne noch euer feedback Augenzwinkern

Augenzwinkern

MfG

13.05.2008, 21:30

Leopold

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Gib's ruhig ab. Es stimmt.
Vielleicht solltest du noch begründen, warum $\begin{eqnarray*} \langle s , d^2 \rangle \end{eqnarray*}$ die Ordnung 4 hat, also eine echte Untergruppe von $\begin{eqnarray*} D_4 \end{eqnarray*}$ ist. Ich weiß nicht, was du aus der Vorlesung schon alles zur Verfügung hast. Notfalls täte es auch die Berechnung einer (Unter-)Gruppentafel. Man erhält die Kleinsche Vierergruppe.

13.05.2008, 22:09

Fletcher

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Danke Leopold,
so viel habe ich in der Vorlesung noch nicht gehabt, also ist es am besten eine Gruppentafel zu erstellen. Ich habe mir zwar diese Gedanken gemacht, aber wirklich verinnerlicht habe ich diese Aufgabe noch nicht. Heißt das einfach, dass die Normalteilereigenschaft einer Gruppe nicht transitiv ist?

14.05.2008, 00:10

therisen

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Zitat:

Original von Fletcher
Heißt das einfach, dass die Normalteilereigenschaft einer Gruppe nicht transitiv ist?

Genau.

15.05.2008, 22:37

Fletcher

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@Leopold

ich habe mal noch eine prinzipielle Frage:

Warum ist es eigentlich so, dass die Elemente s und d schon die ganze Gruppe erzeugen?

16.05.2008, 11:33

Leopold

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Ehrlich gesagt verstehe ich die Frage nicht ganz. Das hatten wir doch schon am Anfang geklärt (siehe z.B. EDIT meines ersten Beitrages).

17.05.2008, 09:15

Fletcher

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Ja stimmt, aber das ganze gilt ja sogar allgemein, also $\begin{eqnarray*} D_n \end{eqnarray*}$ wird ja von zwei Elemente erzeugt, zum einen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und zum anderen $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ mit den Eigenschaften: $\begin{eqnarray*} a^n=e \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b^2=e \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ab=b^{-1}a \end{eqnarray*}$

Ich wollte nur wissen, warum das auch allgemein gilt.

17.05.2008, 09:20

Leopold

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Das ist die gruppentheoretische Definition von $\begin{eqnarray*} D_n \end{eqnarray*}$ . Und Definitionen kann man nicht beweisen ...

P.S. $\begin{eqnarray*} a^n = e \end{eqnarray*}$ genügt nicht als Forderung. Man muß $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ als die Ordnung von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ festlegen (Minimalität).

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