Extremwertaufgabe (war: Nikki)

03.01.2006, 13:11

Nikki

Extremwertaufgabe (war: Nikki)

Brieftauben vermeiden es erfahrungsgemäß, über weite Wasserflächen zu fliegen. Ein möglicher Grund kann sein, dass Wasser sich am tag weniger erwärmt als Land. Über dem Land steigt die Luft daher stärker auf als über dem Wasser. Eine Taube benötigt also über einer Wasserfläche mehr Energie, um ihre Flughöhe beizubehalten. Wir nehmen an,dass Ta uben von einem Boot im Punkte S eines Sees freigelassen werden. Der kürzeste Weg von S zum Zielpunkt Z ist gestrichelt eingezeichnet. Doch machen die Tauben einen Umweg. Sie fliegen zuerst zu einem Punkt P am südlichen Ufer nicht weit vom Punkt S entfernt. Dann folgen sie dem Ufer ostwärts bis zum Punkt Z. (Der Einfachheit haber sei angenommen, daß Ufer in west-östlicher Richtung gerade verlaufe.) Die Frage ist, wo der Punkt P gewählt werden muss, damit die für den Flug S über P nach Z benötigte Energie minimal wird.
Der Energieverbrauch einer Taube pro Kilometer über Land sei e1 und pro Kilometer über Wasser e2. Dann gilt e2=c*e1 mit c>1. Die Streckenlägen AS=r und AZ=s seien vorgegeben. Wir verfolgen zwei Möglichkeiten, die günstige Flugroute zu bestimmen.

a) Beschreiben Sie die verbrauchte Gesamtenergie E als Funktion von PZ=x und minimalisieren Sie diese Funktion über dem Intervall )0,s(.

b) Beschreiben Sie die verbrauchte Gesamtenergie G als Funktion des Winkels alpha und bestimmen sie das Minimum dieser Funktion über dem Intervall )0°,90°(.

c) Es sei c=2, r=5km und s=100km. Errechnen Sie mit diesen Werten die Länge des energiemäßig günstigsten Weges von S über P nach Z und zum Vergleich die Längen des direkten Weges SZ und des Weges von S über A nach Z. Berechnen Sie den Energieverbrauch auf den verschiedenen Wegen.
Ich verstehe nicht mal die Fragen LOL Hammer

. Hoffentlich könnt ihr mir weiter helfen, oder wenigstens die Fragen erläutern, rofl. Hilfe

03.01.2006, 15:37

20_Cent

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über dem dem Wasser benötigt die Taube mehr Energie.
Am wenigsten Energie verbraucht sie also, wenn sie nicht gerade fliegt, du kannst dir das veranschaulichen, indem du in ein Glas mit Wasser guckst, du siehst auch nicht gerade auf den Grund, sondern schief, das licht bewegt sich um die Ecke.

zu Aufgabe a):

Die Energie auf einer Teilstrecke ist e1, bzw e2, mal die länge der teilstrecke.

überlege dir, wie du die Strecken $\begin{eqnarray*} \overline{SP} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overline{PZ} \end{eqnarray*}$ ausdrücken kannst, die komplette Energie sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} E=e_1\cdot \overline{PZ}+e_2\cdot \overline{SP} \end{eqnarray*}$

mfG 20

edit: $\begin{eqnarray*} \overline{SP} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overline{PZ} \end{eqnarray*}$ vertauscht, sorry, hatte mich verlesen.

03.01.2006, 22:35

mYthos

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Hi!

Zitat:

Original von 20_Cent
... die komplette Energie sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} E=e_1\cdot \overline{SP}+e_2\cdot \overline{PZ} \end{eqnarray*}$

mfG 20

Das stimmt nicht, vielmehr ist

$\begin{eqnarray*} E=e_1\cdot \overline{PZ}+e_2\cdot \overline{SP} \end{eqnarray*}$

An dieser Stelle sollten m. E. doch mehr Hinweise gegeben werden, weil diese Aufgabe nicht ganz einfach ist und immer wieder in diversen Varianten auftaucht.

Prinzipiell kann die Aufgabe entweder über die Längen und Anwendung des Pythagoras' (a) oder aber durch Einführung eines Winkels als Variable realisiert werden (b).

In beiden Fällen ist die Rechnung zuerst allgemein und erst dann mit den Angaben in c) zu durchzuführen.

Aus der Skizze ist ersichtlich:

PZ = x
AP = s - x
PS = z = $\begin{eqnarray*} \sqrt{r² + (s - x)^2} \end{eqnarray*}$ (setze die Strecke PS = z)

Der Energieverbrauch ist immer proportional zu dem zurückgelegten Weg:

Energie auf dem Landweg: $\begin{eqnarray*} e_1 \cdot x \end{eqnarray*}$
Energie über Wasser: $\begin{eqnarray*} e_2 \cdot \sqrt{r^2 + (s - x)^2} \end{eqnarray*}$

Lt. Angabe ist $\begin{eqnarray*} e_2 = c \cdot e_1 \end{eqnarray*}$ (mit c > 1)

Gesamtenergie e

$\begin{eqnarray*} e = e_1 \cdot x + e_2 \cdot \sqrt{(r^2 + (s - x)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e = e_1 \cdot x + c \cdot e_1 \cdot \sqrt{(r^2 + (s - x)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e = e_1 \cdot (x + c \cdot \sqrt{(r^2 + (s - x)^2} \end{eqnarray*}$

Der Faktor $\begin{eqnarray*} e_1 \end{eqnarray*}$ ist konstant und kann für die Ermittlung des Extremwertes vorerst weggelassen werden (1. Vereinfachung der Ansatzfunktion)

$\begin{eqnarray*} e(x) = x + c \cdot \sqrt{r^2 + (s - x)^2} \end{eqnarray*}$ .. [hängt nur von x ab]

Diese Funktion ist nun nach x abzuleiten und die Ableitung Null zu setzen .. . Die weitere Rechnung gestaltet sich nun nach bekannten Regeln nicht allzu schwer, eventuell ist die zweite Ableitung zur Ermittlung der Art des Extremums (ob Min. oder Max. -> es soll sich ja ein Minimum ergeben, das muss man aber mittels der 2. Ableitung zeigen) etwas aufwendiger.

Schau mal, ob du dies nun weiterrechnen kannst, es ergibt sich relativ einfach für

$\begin{eqnarray*} x = s - \frac{r}{\sqrt{c^2 - 1}} \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} z = \frac{r \cdot c}{\sqrt{c^2 - 1}} \end{eqnarray*}$ [ = Strecke PS]

Hinweis für b)

z = Strecke PS

$\begin{eqnarray*} sin(\alpha) = \frac{r}{z} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos(\alpha) = \frac{s-x}{z} \end{eqnarray*}$

- >>

$\begin{eqnarray*} z = \frac{r}{sin(\alpha)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = s -\frac{r \cdot cos(\alpha)}{sin(\alpha)} \end{eqnarray*}$

damit ist (wiederum $\begin{eqnarray*} e_1 \end{eqnarray*}$ ausklammern und weglassen)

$\begin{eqnarray*} e(\alpha) = s - \frac{r \cdot cos(\alpha)}{sin(\alpha)} + \frac{c \cdot r}{sin(\alpha)} \end{eqnarray*}$ [Diesmal hängt e von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ab!]

Wiederum (nunmehr nach $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ) ableiten und Null setzen ...

in weiterer Folge $\begin{eqnarray*} \frac{r}{sin^2(\alpha)} \end{eqnarray*}$ ausklammern, dies ist ungleich Null
...

$\begin{eqnarray*} cos(\alpha) = \frac{1}{c} \end{eqnarray*}$ !!

daraus

$\begin{eqnarray*} sin(\alpha) = \frac{\sqrt{c² - 1}}{c} \end{eqnarray*}$

Nicht vergessen, wieder mittels der 2. Ableitung auf Minimum prüfen.

und weiter x, z, e ....

c)

Wegen $\begin{eqnarray*} cos(\alpha) = \frac{1}{c} \ ( = \frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} \alpha = 60° \end{eqnarray*}$ !!

Die weiteren Größen x, z, e nun durch Einsetzen ermitteln ...

Soweit einige Ansatzpunkte, der Rest müsste für dich zu schaffen sein. Bei weiteren Unklarheiten jedoch bitte nochmals fragen!

Gr
mYthos

09.01.2006, 14:41

mYthos

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FragestellerIn hat in einem anderen Forum dieselbe Frage gestellt und weiterführende Informationen angefordert, die des Interesses halber auch hier vermerkt werden sollen.

Bei der Ermittlung des Vorzeichens der 2. Ableitung an der Extremstelle kann man sich einige Mühe ersparen, wenn die erste Ableitung f ' ein Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{u}{v} \end{eqnarray*}$ ist. Da f ' ja Null gesetzt wurde, ist auch u = 0 (nur an der Extremstelle!). Die 2. Ableitung

$\begin{eqnarray*} f '' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \end{eqnarray*}$

geht daher über in

$\begin{eqnarray*} f ''_{extr} = \frac{u'}{v} \end{eqnarray*}$ !!

Da uns ja nur das Vorzeichen der zweiten Ableitung an der Extremstelle interessiert, genügt es, nur den Zähler abzuleiten und den Nenner unverändert zu lassen.

Im Beispiel ist der Nenner der ersten Ableitung ohnehin positiv, also untersuche für die 2. Ableitung nur noch das Vorzeichen der Ableitung des Zählers.

$\begin{eqnarray*} e(x) = x + c.\sqrt{r^2 + (s - x)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e'(x) = 1 - \frac{c.(s - x)}{\sqrt{r² + (s - x)^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e'(x) = \frac{\sqrt{r^2 + (s - x)^2)} - c*(s - x)}{\sqrt{r^2 + (s - x)^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e'(x) = 0 \end{eqnarray*}$ ->

$\begin{eqnarray*} r^2 + (s - x)^2 = c^2.(s - x)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r^2 = (s - x)^2.(c^2 - 1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s - x = \frac{r}{\sqrt{c^2 - 1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = s - \frac{r}{\sqrt{c^2 - 1}} \end{eqnarray*}$
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

Nun ist der Wert der 2. Ableitung an der Extremstelle gleich der Ableitung des Zählers durch den Nenner (d. 1. Abl.)

$\begin{eqnarray*} e'(x) = \frac{\sqrt{r² + (s - x)^2} - c.(s - x)}{\sqrt{r^2 + (s - x)^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e ''(x_{extr}) = \frac{\frac{-(s - x)}{\sqrt{r^2 + (s - x)^2}} + c}{\sqrt{r^2 + (s - x)^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e''(x_{extr}) = \frac{-(s - x) + c.\sqrt{r² + (s - x)^2}}{r^2 + (s - x)^2} \end{eqnarray*}$

Der Nenner ist jedenfalls immer positiv, aber auch der Zähler, denn $\begin{eqnarray*} \sqrt{r^2 + (s - x)^2} > (s - x)\ ;\ c > 1 \end{eqnarray*}$ , somit existiert ein Minimum.

b.)

...
$\begin{eqnarray*} e(\alpha) = s - \frac{r.cos\alpha}{sin\alpha} + \frac{c.r}{sin\alpha} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e(\alpha) = s -\frac{r.(cos\alpha - c)}{sin\alpha} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e'(\alpha) = - r.\frac{(-sin^2\alpha - cos\alpha.(cos\alpha - c))}{sin^2\alpha} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e'(\alpha) = r.\frac{(1 - c.cos\alpha)}{sin^2\alpha)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e'(\alpha) = \frac{r}{sin^2\alpha} . (1 - c*cos\alpha) \end{eqnarray*}$

-> 0

$\begin{eqnarray*} 1 - c.cos\alpha = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos\alpha = \frac{1}{c} \end{eqnarray*}$
°°°°°°°°°°°°°°°°

$\begin{eqnarray*} \alpha = arccos(\frac{1}{c}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sin\alpha = 1 - cos^2\alpha = \frac{\sqrt{c^2 - 1}}{c} \end{eqnarray*}$

daraus x, z durch Einsetzen.

Für die 2. Ableitung $\begin{eqnarray*} e''(\alpha) \end{eqnarray*}$ können wir dieselbe bereits angesprochene Vereinfachung vornehmen (nur $\begin{eqnarray*} 1 - c.cos\alpha \end{eqnarray*}$ ableiten ...).

c)

$\begin{eqnarray*} x = 100 - \frac{5}{\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s - x = 100 - x = \frac{5}{\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r = 5\ ;\ c = 2 \end{eqnarray*}$

-------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} e = e_1 . (x + c.\sqrt{r^2 + (s - x)^2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e = e1 * (100 - \frac{5}{\sqrt{3}} + 2.\sqrt{25 + \frac{25}{3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e = e1 * (100 - \frac{5}{\sqrt{3}} + \frac{20}{\sqrt{3}}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e = e1 * (100 + 5.\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e = e1 * 108,66 \end{eqnarray*}$
°°°°°°°°°°°°°°°°°°

Gr
mYthos

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