Größte bzw. kleinste Entfernung des Punktes X von einem Brennpunkt der Ellipse

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10.05.2008, 14:33

Felix

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Größte bzw. kleinste Entfernung des Punktes X von einem Brennpunkt der Ellipse

Themenname verrät schon was ich brauche
wäre nett wenn ihr mir helfen könntet ....

lg

10.05.2008, 16:07

20_Cent

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Du suchst den Punkt (die Punkte), die am nächsten bzw. am weitesen weg von einem Brennpunkt der Ellipse liegen?
Du kannst ohne Einschränkung die obere Hälfte der Ellipse betrachten, weil die Ellipse symmetrisch ist. Dann kannst du die Formel für die Ellipse nach y auflösen.
Nun musst du noch die allgemeine Abstandsformel von einem Punkt zu einer Funktion kennen, das ist das gleiche, wie der Betrag des Vektors zwischen dem Punkt und dem Punkt auf der Funktion.
Diesen Betrag musst du jetzt extremieren (Scheitelpunkt einer Parabel finden, oder ableiten und =0 setzen)
mfG 20

12.05.2008, 19:51

Felix

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Zitat:

Du kannst ohne Einschränkung die obere Hälfte der Ellipse betrachten, weil die Ellipse symmetrisch ist. Dann kannst du die Formel für die Ellipse nach y auflösen.

Naja das sieht dann im algemeinen so aus (?) :

$\begin{eqnarray*} y = \sqrt{b²-\frac{b²x²}{a²}} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Nun musst du noch die allgemeine Abstandsformel von einem Punkt zu einer Funktion kennen, das ist das gleiche, wie der Betrag des Vektors zwischen dem Punkt und dem Punkt auf der Funktion.

Dass dann so (?) :
$\begin{eqnarray*} \sqrt{(x-e)² + y²} \end{eqnarray*}$

Und was genau soll ich jetzt tun? y substituieren und das Ergebnis extremieren ???

lg

12.05.2008, 21:31

20_Cent

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Setze für y die Formel von oben ein, dann quadriere, denn man kann auch das Abstandsquadrat minimieren (das ist einfacher).
mfG 20

12.05.2008, 22:09

Felix

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ell : 16x² + 25x² = 400

--> d² = 9x²/25 - 6x + 25

d´= $\begin{eqnarray*} \frac{18x/25 -6}{2d} \end{eqnarray*}$

d´= $\begin{eqnarray*} \frac{18x/25 -6}{2\sqrt{9x²/25 - 6x + 25}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{18x/25 -6}{2\sqrt{9x²/25 - 6x + 25}} \end{eqnarray*}$ = 0 |*2 $\begin{eqnarray*} \sqrt{9x²/25 - 6x + 25} \end{eqnarray*}$

x = 8,3 ° ---> so was hab ich jetzt falsch gemacht (x>a)

13.05.2008, 01:05

20_Cent

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Ich bin grad schon etwas müde, hab aber keinen Plan, was du da gemacht hast...
Erklär mal etwas genauer bitte... dann guck ich morgen mal drüber
mfg 20

13.05.2008, 07:51

Felix

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Mir kommt das ganze ja auch komisch vor aus: $\begin{eqnarray*} y = \sqrt{b²-\frac{b²x²}{a²}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d=\sqrt{(x-e)² + y²} \end{eqnarray*}$ ergibt sich ja :
$\begin{eqnarray*} d² = x² - 2ex + e² + (b² - \frac{b²x²}{a²}) \end{eqnarray*}$
Korrigier mich bitte wenn das falsch ist ....
Wenn ich das jetzt in gegebenen Bsp. (ell : 16x² + 25x² = 400) verwende erhalte ich :

$\begin{eqnarray*} d² = 9x²/25 - 6x + 25 \end{eqnarray*}$

Das differenziere ich jetzt :

2d * d´=18x/25 -6

d´= $\begin{eqnarray*} \frac{18x/25 -6}{2d} \end{eqnarray*}$

d´= $\begin{eqnarray*} \frac{18x/25 -6}{2\sqrt{9x²/25 - 6x + 25}} \end{eqnarray*}$

Und setzte es gleich Null um die Extremwerte zu bekommen :

$\begin{eqnarray*} \frac{18x/25 -6}{2\sqrt{9x²/25 - 6x + 25}} \end{eqnarray*}$ = 0 |*2 $\begin{eqnarray*} \sqrt{9x²/25 - 6x + 25} \end{eqnarray*}$

x = 8,3 ° ---> so was hab ich jetzt falsch gemacht (x>a)

P.S. Danke für alle Mühen

13.05.2008, 13:45

20_Cent

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Du hast das Differenzieren falsch gemacht.
Deine Formeln mit a,b und e hab ich nicht nachgeprüft, die sehen halbwegs richtig aus, aber du sollst ja nicht nach d ableiten oder sowas, sondern d^2 nach x ableiten. Da kommt ne lineare Funktion raus, deren Nullstellen man ganz einfach ermitteln kann.
mfG 20

13.05.2008, 17:30

Felix

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Zitat:

sondern d^2 nach x ableiten. Da kommt ne lineare Funktion raus, deren Nullstellen man ganz einfach ermitteln kann.

und wie macht man das ?

14.05.2008, 13:04

20_Cent

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Naja, wenn ich jetzt mal davon ausgehe, dass $\begin{eqnarray*} d² = 9x²/25 - 6x + 25 \end{eqnarray*}$ richtig ist, dann ist die Ableitung nach x einfach
$\begin{eqnarray*} 18/25\cdot x - 6 \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} d^2 \end{eqnarray*}$ nennt man dann besser um, z.b. in $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ , das was ich hingeschrieben habe ist dann offensichtlich $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ .
Und das jetzt =0 zu setzen und nach x aufzulösen ist wirklich einfach.
mfG 20

14.05.2008, 20:42

Felix

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Zitat:

Naja das Ergebnis ist das gleiche wenn ich d nach x ableite, nähmlich 8,33333333...
ABER das kann nicht stimmen weil d größer als a+e ist.

Mittlerweile bin ich auf geometrischem Weg zum Schluss gekommen das d(max) gleich a+e = 8 ist. Das ganze sollte sich aber auch rechnerisch beweisen lassen nur klappt das halt nicht ganz ...

Also wenn hier irgend jemand Licht iuns Dunkel bringen könnte wäre ich sehr dankbar

mfg Felix

14.05.2008, 21:07

Felix

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Zitat:

ABER das kann nicht stimmen weil d größer als a+e ist.

tut mir leid ich meine natürlich x ist größer als a + e

15.05.2008, 08:01

20_Cent

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Ok, ich hatte jetzt gedacht, dass du dich auf dem einen Weg verrechnet hast, weil er komplizierter ist. Möglich ist er natürlich auch.
Dann hast du vorher schon einen Fehler gemacht.
Du willst den Abstand vom Brennpunkt zum Rand haben, ja?
Dann schreib bitte nochmal den Brennpunkt und die Ellipse hin.
mfG 20

15.05.2008, 13:31

Felix

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also gut :

ell : 16x² + 25y² = 400 ---> e = 3 ---> F(e/0) bzw (-e/0)

P.S. : Ich rechne dieses Beispiel jetzt schon zum 5ten mal es kommt aber immer dasselbe (falsche) Ergebnis raus

15.05.2008, 21:27

20_Cent

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Ah, okay, richtig gerechnet.

In der Tat ist das Minimum der Parabel nicht im von uns betrachteten Bereich, d.h. wir brauchen die Randextrema. Beide Extremstellen (Min. und Max. Abstand) liegen auf der x-Achse, der Abstand ist natürlich nur für x zwischen -5 und 5 definiert...
Am besten du skizzierst dir mal d und y.

mfG 20

16.05.2008, 07:02

Felix

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Gut damit wäre dmax,min wie ich vermutet habe jeweils a + e und a - e
Aber was sind randextrema, bzw wie rechne ich das jetzt weiter ....
wie soll ich mir d und y skkizieren ???

lg felix

16.05.2008, 09:44

TheWitch

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Setze x = 5 und x = - 5 (die beiden Grenzen des Definitionsbereichs) in die Abstandsfunktion ein - und zwar diesmal nicht in die quadrierte, sondern in die Wurzelfunktion. Du erhältst d(5) = 2 = 5 - 3 und d(- 5) = 8 = 5 + 3, die von dir bereits vermuteten Werte also.

16.05.2008, 13:39

Felix

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Das bedeutet das ich zuerst ableite, danach extemiere so wie getan.
Falls das keine vernünftige Lösung bringt dann weiß ich das ich mit randextrema rechnen muss. Sprich die Gleichung des Abstands mit dem maximalen und minimalen x wert ermitteln muss bzw. wenn beim extremieren ein x Wert höher a kommt ist er automatisch a.

Hab ich das jetzt richtig verstanden ?

16.05.2008, 14:39

TheWitch

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Deinen letzten Satz verstehe ich nicht. Die ersten beiden Sätze sind ok.

Wenn du keinen Extremwert im Inneren des Definitionsbereichs (einer auf dem gesamten Def.-Bereich stetigen Funktion) erhältst, können größte oder kleinste Werte nur an den Grenzen des Definitionsbereiches (der ursprünglichen) Funktion liegen. Indem du eben diese Grenzen einsetzt, erhältst du Auskunft über die Art der Extremwerte.

Einfaches Beispiel:
Betrachte f(x) = x² mit dem Definitionsbereich [4; 6]. Der Scheitel der Parabel (also der Kandidat für ein Minimum) in diesem Fall liegt bei x = 0, also außerhalb des Definitionsbereichs. Berechne also f(4) = 16 und f(6) = 36 und du weißt:
Innerhalb des Definitionsbereichs liegt bei P(4|16) ein Minimum vor, bei Q(6|36) ein Maximum. Alle anderen Funktionswerte liegen zwischen 16 und 36.

17.05.2008, 00:00

Felix

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hmm den letzten Satz hab ich ein bisschen unglücklich formuliert aber ich dürfte das jetzt verstanden haben ...

Nochmals vielen Dank an euch für eure Hilfe smile

lg Felix

18.05.2008, 19:12

Felix

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Noch eine kleine Anschlussfrage von mir :
was wäre mit f(x) = 4x² - x³ im Definitionsbereich [3;5] in diesem Fall würden die Extremwerte nicht beide am Rand des definitionsbereichs liegen ...

Oder auch im Fall von f(x) = x² im Definitionsbereich [-2;2]

lg felix

edit:
Bin schon selbst draufgekommen: Der Extremwert würde sowieso im Definitionsbereich liegen ....

18.05.2008, 22:22

TheWitch

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Im ersten Fall nicht. Das lokale Maximum in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ liegt bei $\begin{eqnarray*} x = 2 \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ - das liegt außerhalb des Definitionsbereichs. Da f streng monoton fallend ist für $\begin{eqnarray*} x \geq 2 \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ , liegt das Maximum in D bei x = 3 mit f(3) = 9 und das Minimum bei x = 5 mit f(5) = - 25.

Für f(x) = x² liegt das (lokale und globale) Minimum in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ bei x = 0 mit f(0) = 0, Maxima sind nicht vorhanden. Im angegebenen Def.-Bereich liegt das Minimum ebenfalls bei x = 2, Maxima liegen bei x = - 2 und x = 2 mit f(- 2) = f(2) = 4, also an den Rändern des Def.-Bereichs.

Man sollte sich gelegentlich mal klarmachen, was es eigentlich heißt, wenn man sagt, man bestimme Minima und Maxima und dass das ganz stark vom betrachteten Ausschnitt aus der Definitions- und damit auch der Wertemenge abhängt. Insbesondere bei anwendungsbezogenen Fragestellungen kann das ganz entscheidend sein. Das Nullsetzen der ersten Ableitung (und ggf. Einsetzen in die zweite Ableitung oder Untersuchung von f' auf Vorzeichenwechsel) ist einzig und allein ein Hilfsmittel und i. A. nicht ausreichend.

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