Fragen zur Cauchy-Folge

10.05.2008, 16:17

sonnescheint

Fragen zur Cauchy-Folge

Hallo!

Erstmal eine allgemeine Frage zum Unterschied:

Was eine Folge ist, ist mir klar.

Eine Folge ist konvergent wenn sie einen Grenzwert besitzt.
Formal ausgedrückt:

"Eine Folge ist konvergent zu einem Grenzwert g, wenn für eine beliebige Zahl Epsilon >0 die Ungleichung |Folgengliedwert - g|<Epsilon erfüllt ist."

Beispiele: Folge 1/n. Jetzt kann ich meinetwegen Epsilon mit 7/8 wählen oder 1/2 oder 0.001. Mit hinreichend großenm Index n werden die Folgenglieder immer kleiner sein als das Epsilon.

Wie genau ist jetzt die Cauchy-Folge definiert? Ich kenne die formale Definition, aber ich kann mit da nichts drunter vorstellen. Wo ist der Unterschied zu einer normalen Folge?

Zweitens hab ich eine Aufgabe hier:

Ich soll zeigen das das eine Cauchy-Folge ist und den Grenzwert bestimmen.
Wie mach ich das? Den Grenzwert kann ich einfach durch ausklammern von n^2 errechen= 4/2 = 2.

Wie zeige ich jetzt das das eine Cauchy-Folge ist?!
Irgendwie ist mir das alles total unklar?

10.05.2008, 16:30

Airblader

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Bei einer Cauchyfolge ist der Abstand zwischen zwei beliebigen Folgengliedern ab einem gewissen Index stets kleiner als ein beliebig vorgegebenes $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ .

Man verwendet also nicht mehr den Grenzwert selbst in der Definition, was auch bedeutet, dass man ihn zum Nachweis nicht erst kennen muss.

air

10.05.2008, 16:42

therisen

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RE: Fragen zur Cauchy-Folge

Zitat:

Original von sonnescheint

Ich soll zeigen das das eine Cauchy-Folge ist und den Grenzwert bestimmen.
Wie mach ich das? Den Grenzwert kann ich einfach durch ausklammern von n^2 errechen= 4/2 = 2.

Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge. Der Beweis ist ganz einfach. Das ist eine sehr bequeme Methode die Aufgabe zu lösen Big Laugh

10.05.2008, 17:06

sonnescheint

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RE: Fragen zur Cauchy-Folge

Zitat:

Original von therisen

Zitat:

Original von sonnescheint

Ich soll zeigen das das eine Cauchy-Folge ist und den Grenzwert bestimmen.
Wie mach ich das? Den Grenzwert kann ich einfach durch ausklammern von n^2 errechen= 4/2 = 2.

Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge. Der Beweis ist ganz einfach. Das ist eine sehr bequeme Methode die Aufgabe zu lösen Big Laugh

Wenn ich die Aufgabe jetzt mit Hilfe der Definition einer Cauchy-Folge berechnen soll, d.h. mit |am-an|<Epsilon, wie mach ich das?

Ich kann ja Das Bildungsgesetz einsetzen und rumrechnen und kürzen und komme auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{3*(n^{2}-m^{2}) }{(1+n^{2})*(1+m^{2})} \end{eqnarray*}$

Nur was bringt mir das? Wie zeige ich damit das das eine Cauchyfolge ist?

10.05.2008, 17:24

tmo

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es ist $\begin{eqnarray*} \frac{n^2-m^2}{n^2+1} < 1 \end{eqnarray*}$ , wenn man o.B.d.A n > m annimmt.

Übrig bleibt als noch $\begin{eqnarray*} \frac{3}{1+m^2} \end{eqnarray*}$ . Das solltest du leicht gegen $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ abschätzen können.

10.05.2008, 17:27

sonnescheint

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Sorry ich weiß nicht wie das mit dem gegen

geht...

Wie genau sieht dernächste Schritt aus?

11.05.2008, 04:32

WebFritzi

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$\begin{eqnarray*} \frac{3}{1+m^2}\le \frac{3}{m^2} \end{eqnarray*}$

Also

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{m^2} < \varepsilon. \end{eqnarray*}$

Löse das nun nach m auf.

12.05.2008, 13:28

_Vic_

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RE: Fragen zur Cauchy-Folge

Zitat:

Original von sonnescheint
$\begin{eqnarray*} \frac{3*(n^{2}-m^{2}) }{(1+n^{2})*(1+m^{2})} \end{eqnarray*}$

Doofe Frage, aber müsste das nicht

$\begin{eqnarray*} \frac{3*(n^{2}-m^{2}) }{2(1+n^{2})*(1+m^{2})} \end{eqnarray*}$
heißen?

12.05.2008, 13:31

tmo

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Ja das stimmt. Ganz am Anfang kann man nämlich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ausklammern. Das darf man dann natürlich nicht vergessen Augenzwinkern

Das hat aber auf die Abschätzung (wie jede Konstante) keinen großen Einfluss.

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