Überabzählbare Orthonormalsysteme?

03.01.2006, 14:20	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Überabzählbare Orthonormalsysteme? Vorab wünsche ich euch allen ein gesundes neues Jahr. Nun zu meinem Problem. Habe hier folgendes Corollar vor mir: Sei X Prähilbertraum. Dann ist für jedes $\begin{eqnarray} x\in X \end{eqnarray}$ die Menge $\begin{eqnarray} \{u\in \text{OS} : (x,u) \not= 0\} \end{eqnarray}$ höchstens abzählbar unendlich, wobei OS ein beliebiges Orthonormalsystem und $\begin{eqnarray} (\cdot,\cdot) \end{eqnarray}$ das Skalarprodukt auf X ist. Soweit sogut, aber auf irgendeine Art und Weise suggeriert mir dieses Corollar, dass es auch überabzählbare Orthonormalsysteme geben muss. Anderenfalls wär dieses Corollar doch trivial. Also kann mir jemand sagen, ob es überabzählbare Orthonormalsysteme gibt? Über ein Bsp. (oder einen kurzen Existenzbeweis) würde ich mich auch freuen. Edit: Also, hab noch was gefunden. Und zwar, dass beliebige Orthonormalsysteme (von nun an ONS) eines separablen Prähilbertraumes immer höchstens abzählbar unendlich sind. Ich finde das stützt meine Vermutung, dass es für allgemeine Prähilberträume auch überabzählbare ONS geben kann.
06.01.2006, 13:35	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überabzählbare Orthonormalsysteme? Was ist mit folgendem? $\begin{eqnarray} F := \{f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R~ \|~ f(x) \neq 0~ \end{eqnarray}$ nur für endlich viele $\begin{eqnarray} x \in \mathbb R\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B := \{\delta_i : \mathbb R \rightarrow \mathbb R~\|~i \in \mathbb R~ \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} ~\delta_i(x) = 1 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} i=x, \delta_i(x) = 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} i \neq x \} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} [f, g] := \sum_{j=1}^{n} f(x_j) \cdot g(x_j) \end{eqnarray}$ , wenn f und g an höchstens $\begin{eqnarray} x_1, ..., x_n \end{eqnarray}$ verschieden von Null sind. Dann ist $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ überabzählbare ONB. Grüße Abakus

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »