Dreieck in Parabelabschnitt - Extremwertaufgabe |
| 10.05.2008, 23:42 | colonel | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Dreieck in Parabelabschnitt - Extremwertaufgabe Die Gerade g: y = 2x - 4 schneidet die Parabel y² = 4x in den Punkten A und B. Wo muss ein Punkt C auf dem Parabelbogen zwischen A und B gewählt werden, damit der Inhalt des Dreiecks ABC am größten wird? Die Punkte A (4|4) und B (1|-2) kann ich mir noch ausrechnen, aber wies genau weitergeht weiß ich nicht. Danke im Voraus, colonel |
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| 11.05.2008, 00:12 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Bezeichne den Punkt C mit C(x;y) und verwende für das Dreieck die zyklische Flächenformel Das ist die Hauptbedingung, die Fläche ist (noch) von x und y abhängig. Als Nebenbedingung gilt die Parabelgleichung. Setze dann in der Hauptbedingung für , danach kann man nach y ableiten, usw. (Es wird sehr einfach, y = 1, ...) Hinweis: Geometrisch ist der gesuchte Punkt C der Berührungspunkt der zur Strecke AB parallelen Tangente, weil wegen der festen Länge von AB der Abstand des Punktes C von AB maximal sein muss (= Höhe des Dreieckes, somit ist auch die Fläche maximal). mY+ |
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| 11.05.2008, 03:58 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die Herangehensweise von mYthos ist sicherlich hier am Elegantesten. Wenn du (wie ich) noch nichts von dieser Flächenformel gehört hast, kannst du als Hauptbedingung den Abstand zweier Punkte P(a | 2a-4) und Q(b | Wurzel(4b)) allgemein aufstellen. Als Nebenbedingung kannst du verwenden, dass die Steigung einer Geraden durch diese beiden Punkte der Normalensteigung zur Geraden durch A und B entspricht. Streng genommen müsstest du das Spielchen auch für den Parabelast unterhalb der x-Achse machen, durch eine Skizze oder andere geometrische Argumentationen muss sich der gesuchte Punkt C aber auf dem oberen Parabelast befinden. |
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| 11.05.2008, 09:06 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
@Björn Diese alternative Methode habe ich in meinem Hinweis ebenso angesprochen. Die Tangente kann nur eine einzige Lage haben, daher entfällt das "Spielchen" mit dem unteren Parabelast. Die Fläche des Dreieckes lässt sich übrigens auch leicht aus dem vektoriellen Produkt in R3 ableiten, welches in R2 zu nur einer einzigen Determinante wird: mY+ |
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| 11.05.2008, 10:02 | colonel | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke, jetzt hab ichs geschafft. Der Punkt C müsste also die Koordinaten (0,25|1) haben. |
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| 11.05.2008, 21:03 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
So ist es!mY+ |
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