berechnung kurvenintegral

11.05.2008, 09:11

ravemaedchen

berechnung kurvenintegral

hi,

kann mir jmd sagen ob die berechnung meiner kurvenintegrale richtig ist?

1) für $\begin{eqnarray*} f: \mid C \mid \setminus \{ z_0 \} -> \mathbb C , z-> (z-z_0)^n , n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} C:=[\gamma] \end{eqnarray*}$ mit der Parameterdarstellung $\begin{eqnarray*} \gamma: [0, 2\pi ] ->\mathbb C , t->z_0 + re^{it} , r\in \mathbb R_+ \end{eqnarray*}$ lautet meine Rechnung:

$\begin{eqnarray*} \int_{C}^{}~f(z)~dz = \int_{0}^{2\pi}~(\gamma(t)-z_0)^n*\gamma'(t)~dt = \int_{0}^{2\pi}~(z_0+re^{it} - z_0)^n*ire^{it}~dt = ir^2 * \int_{0}^{2\pi}~re^{(n+1)it}~dt = [\frac{e^{(n+1)it}}{(n+1)i}]_{0}^{2\pi} = ir^2*(\frac{e^{(n+1)i2\pi}}{(n+1)i} - \frac{1}{(n+1)i}) = \frac{r^2*e^{(n+1)i2\pi - r^2}}{(n+1)} \end{eqnarray*}$

2) für $\begin{eqnarray*} f: \mid C_i \mid -> \mathbb C , z-> \mid z\mid , i=1,2 \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} C_1:=[\gamma_1] \end{eqnarray*}$ mit der Parameterdarstellung $\begin{eqnarray*} \gamma_1: [-1, 1] ->\mathbb C , t->t \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C_2:=[\gamma_1] \end{eqnarray*}$ mit der Parameterdarstellung $\begin{eqnarray*} \gamma_2: [0, \pi] ->\mathbb C , t->e^{i(\pi-t)} \end{eqnarray*}$ lautet meine Rechnung:

$\begin{eqnarray*} \int_{C}^{}~f(z)~dz = \int_{C_1}^{}~f(z)~dz + \int_{C_2}^{}~f(z)~dz = \int_{-1}^{1}~\mid t \mid~dt + \int_{0}^{\pi}~\mid e^{i(\pi - t)} \mid * ie^{i(\pi - t)}~dt = 0 + i* \int_{0}^{\pi}~e^{2i(\pi - t)}~dt = i*(e^{2i*0} - e^{2i*\pi}) = -ie^{2i*\pi} \end{eqnarray*}$

da $\begin{eqnarray*} [\mid t \mid]_{-1}^1 = 0 \end{eqnarray*}$ und e^x immer positiv ist da ja e positiv ist.

11.05.2008, 11:41

WebFritzi

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$\begin{eqnarray*} \left(re^{it}\right)^n = r^ne^{int}. \end{eqnarray*}$

11.05.2008, 21:33

ravemaedchen

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ouh ja, leichtsinnsfehler, danke.

aber passt des bei der 1. aufgabe wirklich, dass $\begin{eqnarray*} e^{(n+1)i2\pi} > 1 \end{eqnarray*}$ ?
ich bin mir an dieser stelle unsicher weil doch in polarkoordinaten gilt: $\begin{eqnarray*} e^{ni2\pi} = 1 \end{eqnarray*}$ - oder bring ich da was durcheinander?

und viell hat noch jmd einen tip, wie ich bei der 2.aufgabe zeigen kann, ob oder ob das integral nicht vom weg abhängt? wär fein

11.05.2008, 21:48

system-agent

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Zitat:

Original von ravemaedchen
$\begin{eqnarray*} e^{(n+1)i2\pi} > 1 \end{eqnarray*}$

Das kann nicht sein, auf den komplexen Zahlen gibt es kein ">" oder ähnliches.

11.05.2008, 23:03

ravemaedchen

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stimmt ja; was ich eigentlich meinte ist: gilt in polarkoordinaten e^2\pi=1 oder nicht?

12.05.2008, 11:00

WebFritzi