Erwartungswert Median

11.05.2008, 07:29

PsychoCat

Erwartungswert Median

Hallo zusammen!
Ich möchte den Erwartungswert des Median $\begin{eqnarray*} M_n \end{eqnarray*}$ von n iid 0-symmetrischen ZV $\begin{eqnarray*} X_1, ..., X_n \end{eqnarray*}$ berechnen.
Also erstmal für den Fall, dass n ungerade ist, dann ist
$\begin{eqnarray*} M_n = X_{\frac{n+1}{2}:n} \end{eqnarray*}$ also das mittlere X.
Ich könnte jetzt die Verteilungsfunktion F(x) davon ausrechen, da bekomm ich ne lange Summe mit Binomialkoeffizienten und Potenzen der Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F_X \end{eqnarray*}$ von X1 (dabei kann ich natürlich ausnutzen, dass die X 0-symmetrisch sind und bekomme auch Potenzen von $\begin{eqnarray*} F_X(-x) \end{eqnarray*}$ ). Aber bringt mir das was für den Erwartungswert? Ich kenne die Formel $\begin{eqnarray*} E(X)=\int_{0}^{\infty }~1-F(X)~dx \end{eqnarray*}$ aber die gilt ja nur für positive ZV. Ich könnte natürlich auch die Ableitung f von F berechnen und dann $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty }~x*f(x)~dx \end{eqnarray*}$ aber das wird irgendwie sehr hässlich und das Integral kann ich nicht ausrechnen.. Rauskommen sollte glaub ich 0.

13.05.2008, 06:22

PsychoCat

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RE: Erwartungswert Median
Hat keiner eine Idee? unglücklich

Ich dachte eigentlich das wär gar nicht so schwer, aber komm einfach nicht weiter.

13.05.2008, 07:21

Dual Space

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RE: Erwartungswert Median

Zitat:

Original von PsychoCat
Ich möchte den Erwartungswert des Median $\begin{eqnarray*} M_n \end{eqnarray*}$ von n iid 0-symmetrischen ZV $\begin{eqnarray*} X_1, ..., X_n \end{eqnarray*}$ berechnen.

Wenn "0-symmetrisch" bedeutet, dass der Erwartungswert jeder ZG X_i gleich Null ist, dann ist auch der Erwartungswert des Medians gleich Null.

13.05.2008, 13:20

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0-Symmetrie würde ich eher so deuten, dass $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -X \end{eqnarray*}$ dieselbe Verteilung haben, symbolisch $\begin{eqnarray*} X \sim -X \end{eqnarray*}$ .

Betrachten wir dann mal zu $\begin{eqnarray*} (X_1,\ldots,X_n) \end{eqnarray*}$ die zugehörige geordnete Stichprobe $\begin{eqnarray*} (X_1^*,\ldots,X_n^*) \end{eqnarray*}$ , d.h., dieselben $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Werte aber angeordnet gemäß

$\begin{eqnarray*} X_1^* \leq X_2^* \leq \ldots \leq X_n^* \end{eqnarray*}$ .

Nun folgt aus $\begin{eqnarray*} X \sim -X \end{eqnarray*}$ sofort $\begin{eqnarray*} (X_1,\ldots,X_n) \sim (-X_1,\ldots,-X_n) \end{eqnarray*}$ und daraus $\begin{eqnarray*} (X_1^*,\ldots,X_n^*) \sim (-X_n^*,\ldots,-X_1^*) \end{eqnarray*}$ (warum?), speziell also $\begin{eqnarray*} X_m^* \sim -X_{n+1-m}^* \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} m=1,\ldots,n \end{eqnarray*}$ . Wählt man nun für ungerade $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ just den Median, also $\begin{eqnarray*} m=\frac{n+1}{2} \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} X_{\frac{n+1}{2}}^* \sim -X_{\frac{n+1}{2}}^* \end{eqnarray*}$ .

Falls nun - ja falls! - der Erwartungswert überhaupt existiert, dann folgt daraus auch

$\begin{eqnarray*} E\left( X_{\frac{n+1}{2}}^* \right) = E\left( -X_{\frac{n+1}{2}}^* \right) \end{eqnarray*}$ ,

woraus die Behauptung folgt.

------------------

Allein "Erwartungswert gleich Null" genügt übrigens nicht - ein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} P(X=2) = \frac{1}{3}, \qquad P(X=-1) = \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

Es ist offenbar $\begin{eqnarray*} E(X)=0 \end{eqnarray*}$ , aber wenn wir z.B. $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ betrachten, dann hat der Median $\begin{eqnarray*} X_2^* \end{eqnarray*}$ die Verteilung

$\begin{eqnarray*} P(X_2^*=2)= \frac{7}{27}, \qquad P(X_2^*=-1)= \frac{20}{27} \end{eqnarray*}$ ,

woraus sich $\begin{eqnarray*} E\left( X_2^* \right) = -\frac{2}{9} \end{eqnarray*}$ ergibt.

P.S.: Es gibt auch mal internetfreie Feiertage, daher keine Antwort von Arthur. Muss auch mal sein. Augenzwinkern

18.05.2008, 09:42

PsychoCat

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ist zwar schon was her, aber danke nochmal smile

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