Monotonie zeigen

04.01.2006, 00:41

Großes Fragezeichen

Monotonie zeigen

Hallo,

ich hab hier eine kleine Aufgabe, ich glaub die ist nicht unbedingt schwer. Aber ich komm nicht weiter.

Ich muss zeigen, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} x -> \sqrt[n]{x} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R_+ \end{eqnarray*}$ monoton steigend ist.

Und zwar hatten wir eine ähnliche Aufgabe:

Zu zeigen: $\begin{eqnarray*} x -> \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist monoton steigend.
Da haben wirs mit der dritten binomischen Formle gemacht:
Sei $\begin{eqnarray*} \sqrt{y}>\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ , dann ist
$\begin{eqnarray*} \sqrt{y}-\sqrt{x} = (\sqrt{y}-\sqrt{x})*\frac{\sqrt{y}+\sqrt{x}}{\sqrt{y}+\sqrt{x}} = \frac{y-x}{\sqrt{y}+\sqrt{x}} > 0 \end{eqnarray*}$ (weil y>0 nach Voraussetzung)

Wir sollen das jetzt analog für $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{x} \end{eqnarray*}$ machen. Aber ich bekomm das "hoch n" einfach nicht weg, weils man hier die binomische Formel nicht anwenden kann. Aber es muss trotzdem irgendwie so ähnlich gehen.
Vielleicht könnte mir da ja jemdand einen Tipp geben....

04.01.2006, 01:00

mYthos

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Hi!

Verwende den allgemeinen binomischen Zerlegungssatz

$\begin{eqnarray*} a^n - b^n = (a - b)\cdot(a^{n-1} + a^{n-2} \cdot b + a^{n-3} \cdot b^2 +...+ a \cdot b^{n-2} + b^{n-1}) \end{eqnarray*}$

Statt a setze nun $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{y} \end{eqnarray*}$ , statt b $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{x} \end{eqnarray*}$ ...

Gr
mYthos

04.01.2006, 01:38

Großes Fragezeichen

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Auch wenn ich das einsetze weiss ich nicht, wie ich weitermachen soll...
Ich kann dann immer noch nicht zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{y}-\sqrt[n]{x} > 0 \end{eqnarray*}$ ist. Vielleicht überseh ich auch was. Ich tu mich ein wenig schwer mit den binomischen Sachen..

04.01.2006, 01:58

mYthos

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Du gehst nun weiter so vor, wie auch im Beispiel mit der Quadratwurzel:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{y} - \sqrt[n]{x} = (\sqrt[n]{y} - \sqrt[n]{x}) . \frac{\sqrt[n]{y^{n-1}} + \sqrt[n]{y^{n-2}.x} + .. + \sqrt[n]{x^{n-1}}}{\sqrt[n]{y^{n-1}} + \sqrt[n]{y^{n-2}.x} + .. + \sqrt[n]{x^{n-1}}} = \frac{(y-x)}{\sqrt[n]{y^{n-1}} + \sqrt[n]{y^{n-2}.x} + .. + \sqrt[n]{x^{n-1}}} \end{eqnarray*}$

Funkt's jetzt?

07.01.2006, 11:13

Lamalambra

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Also, ich habe ehrlich gesagt noch Probleme damit, soll man daraus nun schon erkennen, ob es monoton wachsend ist?

07.01.2006, 12:48

Frooke

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Musst Du denn den gleichen Ansatz verwenden? Sonst zeige einfach

$\begin{eqnarray*} \mathbb{W}_{f'} \subset \mathbb{R}^+ \end{eqnarray*}$

(Wertebereich der Ableitung ist nur positiv.)

07.01.2006, 15:53

Lamalambra

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Ne habe die selbe Aufgabe und würde das gerne wissen...

07.01.2006, 16:50

Großes Fragezeichen

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Wenn man festlegt, dass $\begin{eqnarray*} y>x \end{eqnarray*}$ ist, dann muss nur noch zeigen, dass die Differenz $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{y} - \sqrt[n]{x} > 0 \end{eqnarray*}$ ist, denn dann ist ja die Funktion monoton wachsend.

Und eben das hat mythos gezeigt. Es kommt $\begin{eqnarray*} \frac{(y-x)}{\sqrt[n]{y^{n-1}} + \sqrt[n]{y^{n-2}.x} + .. + \sqrt[n]{x^{n-1}}} > 0 \end{eqnarray*}$ raus weil, sowohl der Zähler als auch der Nenner positiv sind....somit ist die Funktion monoton wachsend.

07.01.2006, 20:18

Lamalambra

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Achsoo, wußte nicht das man davon ausgehen kann das y>x ist...

Danke schööön!

07.01.2006, 22:09

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Lamalambra
Achsoo, wußte nicht das man davon ausgehen kann das y>x ist...

Wie bitte? Das ist doch gerade die Voraussetzung! Du musst zeigen: Wenn $\begin{eqnarray*} y>x \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{y}>\sqrt[n]{x} \end{eqnarray*}$ . Das ist also einfach deine Voraussetzung und das hätte dir schon klar sein sollen (bzw. müssen). unglücklich

Gruß MSS

07.01.2006, 22:22

kiki2005

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Hi Leute!
Es ist einfacher, wenn man die erste Ableitung bildet und zeigt, dass diese positiv ist, somit ist f(x) monoton steigend. Viel Spass damit!

07.01.2006, 22:27

Mathespezialschüler

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@kiki2005
Ich bin mir ziemlich sicher, dass "Großes Fragezeichen" und "Lamalambra" in ihrer Vorlesung noch keine Ableitungen hatten. Das sieht man z.B. daran, dass der Beweis für $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ ebenfalls so geführt wurde, wie mythos es jetzt für allgemeines $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gemacht hat (und das erkennt man auch aus den anderen Beiträgen von den beiden, die du aber wahrscheinlich nicht kennst).

Gruß MSS

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