Cassinische Kurven

04.01.2006, 11:58

Brödl

Cassinische Kurven

Hallo!!!
Könnte mir jemand helfen?? Ich schreib zur Zeit an meiner Facharbeit über Cassinische Kurven und hätte da ein paar Fragen zu Kurven allgemein!
Die Gleichung der Cassinischen Kurve lautet
$\begin{eqnarray*} f (x,y) = (x²+y²+c²)²-ax^{4}-4c²x² = 0 \end{eqnarray*}$
bzw. explizit $\begin{eqnarray*} y=\pm \sqrt{-c²-x²+ \sqrt{4c²x²+a^{4}} } \end{eqnarray*}$

1. Was sind eigentlich Polarkoordinaten? Wozu braucht man die? Ich stells mir so vor, dass da der Winkel, den der Punkt P einer Kurve mit dem Ursprung einschließt, angegeben wird, stimmt das?
In einer Quelle von mir steht, dass man $\begin{eqnarray*} x=r\cdot \cos\alpha \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y=r\cdot \sin\alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x²+y²=r² \end{eqnarray*}$ setzen muss, und dann soll rauskommen
$\begin{eqnarray*} r^{4} -2c²r²\cos2 \alpha =a^{4}-c^{4} \end{eqnarray*}$
Woher das $\begin{eqnarray*} \cos2 \alpha \end{eqnarray*}$ kommt ist mir ein Rätsel! (Mit sin und cos rechen was noch nie meine Stärke ;-)
In einer anderen Quelle stehr als Polargleichung $\begin{eqnarray*} \beta ²=c²cos(2\alpha )\pm \sqrt{a^{4} -c^{4}\sin²(2\alpha)} \end{eqnarray*}$
und keinerlei Erklärung dazu unglücklich

2. Darf man eine Kurve so ableiten wie eine normale Funktion? Ich hab nämlich in einem (bissl älteren) Buch gelesen dass die Ableitung gar nicht entwickelt ist und man nur weiß dass die Extrema auf dem Kreis $\begin{eqnarray*} x²+y²=c² \end{eqnarray*}$ liegen. Ich hab die explizite Kurvengleichung einfach mal abgeleitet und da kamen für f´(x) = 0 exakt die Schnittpunkte der Kurve mit dem Kreis raus!

3. Kann jemand mal $\begin{eqnarray*} y=\sqrt{a²-c²} \end{eqnarray*}$ in die Kurvengleichung einsetzten und nach x auflösen???? Ich bekomme da neben x=0 noch $\begin{eqnarray*} y=\pm \sqrt{2} \cdot \sqrt{2c²-a²} \end{eqnarray*}$ raus, aber eignetlich sollte laut meinem Buch $\begin{eqnarray*} y=\pm 2 \cdot \sqrt{2c²-a²} \end{eqnarray*}$ rauskommen ...!

Ich hoffe mir kann jemand helfen ..... danke schon mal im voraus!

04.01.2006, 12:04

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Zitat:

Original von Brödl
In einer Quelle von mir steht, dass man $\begin{eqnarray*} x=r\cdot \cos\alpha \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y=r\cdot \sin\alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x²+y²=r² \end{eqnarray*}$ setzen muss, und dann soll rauskommen
$\begin{eqnarray*} r^{4} -2c²r²\cos2 \alpha =a^{4}-c^{4} \end{eqnarray*}$
Woher das $\begin{eqnarray*} \cos2 \alpha \end{eqnarray*}$ kommt ist mir ein Rätsel!

Da fand sicher das Additionstheorem $\begin{eqnarray*} \cos^2(\alpha) = \frac{1+\cos(2\alpha)}{2} \end{eqnarray*}$ Anwendung.

04.01.2006, 12:16

Brödl

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danke für die Antwort!
aber gehört die Formel zu den Additionstheoremen??? Ich dachte das ist $\begin{eqnarray*} \sin( \alpha +\beta )=\sin\alpha \cos\beta +\cos\alpha \sin\beta \end{eqnarray*}$ usw.
naja is ja auch egal smile

04.01.2006, 12:23

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Naja, kann man aus

$\begin{eqnarray*} \cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta) \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} \beta=\alpha \end{eqnarray*}$ folgern, wobei noch der trigonometrische Pythagoras $\begin{eqnarray*} \cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)=1 \end{eqnarray*}$ eingesetzt wird.

04.01.2006, 14:45

Leopold

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@ Brödl

Eine Cassini-Kurve ist der geometrische Ort aller Punkte, für die das Produkt der Abstände von zwei festen Punkten $\begin{eqnarray*} F_1,F_2 \end{eqnarray*}$ den konstanten Wert $\begin{eqnarray*} a^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a \neq 0 \end{eqnarray*}$ hat.

Ich habe einmal in meinen Unterlagen gekramt. Wenn du den Anhang entpackst, findest du ein html-Dokument, das eine Euklid-Zeichnung mit einer Cassini-Kurve enthält. Es sollte mit dem Internet Explorer zu öffnen sein.

04.01.2006, 15:28

Dual Space

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@leopold: hab mir das mal runtergeladen, aber irgendwie kriege ich nichts angezeigt, weil cassini.geo nicht gefunden wird, obwohl es mit im selben order ist verwirrt

@arthur: den IE hab ich ... könnte allerdings tatsächlich an den Sicherjeitseinstellungen liegen. thx

04.01.2006, 15:41

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Unser Leo setzt voraus, dass du den Internet Explorer benutzt, und dann auch noch einige Sicherheitsoptionen abschaltest. Augenzwinkern

04.01.2006, 16:07

Brödl

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Deine euklid-Zeichnung einer Cassinischen Kurve habe ich schon, die hast du schon mal in einem anderem älteren Thread gepostet, gell ? Was ne Cassinische Kurve ist ist mir eh schon klar, meine Facharbeit darüber ist schon so gut wie fertig ^^!

Ich bin mir nur nicht sicher ob ich die Kurve einfach ableiten kann wie ne normale Funktion und was zum Teufel Polarkoordinaten sind (und warum in verschiedenen Büchern verschiedene Polargleichungen für die Cassinische Kurve sind). Ich hab schon hier im Forum rumgesucht aber hab noch keine Erklärung gefunden unglücklich

Achja, kann mir jemand was über die Rolle der Cassinischen Kurve bei der Polarisation von Kristallen sagen???? Ich find dazu absolut nix. Oder sonst irgendwas wo die Cassinische Kurve eine Rolle spielt?? (Ich brauch nämlich noch nen Schluss für meine Facharbeit ^^)

18.01.2006, 00:35

Brödl

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Gibts niemanden der mir eine Anwendungsmöglichkeit für die Cassinische Kurve geben kann??? Ihr wisst doch sonst auch immer alles traurig

Oder kann mir jemand nen anderen Tip für den schluss meiner facharbeit geben? ich wollt erst was über die Cassini-sonde schreiben, aber die hat ja eigentlich gar nix mit der Cassinikurve zu tun unglücklich

Hätte eigentlich jemand lust meine Facharbeit anzuschauen und zu sagen wie er sie findet? (ich weiß, das ist ein bisschen heikel ..... ich möcht nur wissen ob das was ich geschrieben hab auch für andere verständlich ist)

01.07.2011, 17:49

mac_tech

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hey dud, ich komme glaub ich ein bisschen verspätet, aber ich schreibe momentan auch an einer Facharbeit über Cassinische Kurven und hab gerade einen richtigen hänger..

könntest du mir villeicht verraten welche bücher du als quellen genutzt hast?

01.07.2011, 18:16

Airblader

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Die Fragestellerin war vor fünfeinhalb Jahren das letzte Mal hier im Forum. Was denkst du, wie gut die Chancen stehen, dass sie rein zufällig reinschaut und antwortet?

air

04.07.2011, 10:15

mac_tech

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Dann weist du jetzt wie verztweifelt ich bin!!!

Hast du villeicht ein paar hilfreiche tipps über Cassinische kurven??

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