Radikal eines Ideals.

04.01.2006, 12:04	cs180703	Auf diesen Beitrag antworten »
Radikal eines Ideals. Sei R ein komm. Ring und I ein Ideal von R. Man setzt: rad I:={r $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ R/es gibt ein n $\begin{eqnarray} \in \mathbb N+ \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x^n \in I \end{eqnarray}$ }c=R (Radikal von I). Man zeige: (1) rad I ist Ideal von R mit Ic=rad I (2) es gilt rad (rad I) = rad I (3) es gilt rad I = R, ganau dann wenn I = R Das Radikal rad 0 des Nullideals von R heißt Nilradikal von R und wird mit nil R bezeichnet. Seine Elemente nennt man nilpotent. R heißt reduziert, wenn nil R = 0. Kann mir jemand ein paar Tipp´s geben? Danke.
05.01.2006, 11:22	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Radikal eines Ideals. Wo liegen die Probleme? $\begin{eqnarray} I \subset rad~I \end{eqnarray}$ ist zB aus der Definition zu sehen. Die Idealeigenschaften lassen sich nachrechnen, genauso die Idempotenz von rad in (2). In (3) ist eine Richtung elementar, die andere zB mit Kontraposition. Grüße Abakus

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