Harmonisch <=> Indefinite H-Matrix

04.01.2006, 12:30

phi

Harmonisch <=> Indefinite H-Matrix

Moin,moin,

Zu zeigen ist warum die Hessesche Matrix $\begin{eqnarray*} H_u(x) \end{eqnarray*}$ einer in $\begin{eqnarray*} \Omega \subset \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$ harmonischen Funktion u in keinem kritischen Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \in \Omega \end{eqnarray*}$ definit sein kann.

Einfache Antwort: Da $\begin{eqnarray*} \nabla u(x_0)=0 \end{eqnarray*}$ gilt, sind die 2. Ableitungen in diesem Punkt(en) auch 0 --> det H=0 --> H ist semidefinit.

Da oben dabei aber nur semidefinit rauskommt:

Lange Antwort: u ist 2-mal differenzierbar --> u' ist stetig --> H_u ist symmetrisch --> ex. Diagonalform D mit Eigenwerten $\begin{eqnarray*} \lambda _1 ,..., \lambda _n \end{eqnarray*}$ . Und da u harmonisch ---> Spur H = 0 ---> Spur D = 0 ---> $\begin{eqnarray*} \lambda _1 < 0 \ und \ \lambda _n >0 \end{eqnarray*}$ , was laut Definition H ist indefinit bedeutet.

Ich bin mir nicht ganz sicher ob man die rot markierte Folgerung machen kann?

Dank & Gruß , phi.

05.01.2006, 14:52

Mazze

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die rote Aussage stimmt

Beweisidee

$\begin{eqnarray*} tr(A*B) = tr(B*A) \end{eqnarray*}$

(tr(A) = trace(A) = spur(A) , is nur kürzer heißt das selbe ^^)

(die Aussage gilt)

Und damit kannste des einfach Beweisen Augenzwinkern

Mehr Gedanken musst Du Dir glaub ich über die letzte folgerung machen.
(Aber ich weiß nicht wann eine Matrix harmonisch ist)

05.01.2006, 15:13

phi

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Danke schonmal dass die Frage aus der Versenkung gerettet hast. smile

Zur letzten Folgerung: Harmonisch ist nur die Funktion u, d.h. die Summe ihrer partiellen 2. Ableitungen ist 0 (:=tr(H_f), also die Spur der Hesseschen Matrix).

Die Matrix H bzw. D selbst ist indefinit, d.h. ein Teil ihrer Eigenwerte sind positiv, und der Rest ist negativ. Und in der genauen Definition die ich benutzt habe werden die Eigenwerte ihrer Größe nach geordnet.

Und da die Spur=0 ist, muss es sowohl positive als auch negative geben die sich aufheben.

dank & Gruß, phi

05.01.2006, 15:21

Mazze

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aus spur(D) = 0 folgt erst die Indefinitheit wenn Du min. einen EW != 0 findest, könnten ja alle 0 sein. Zudem weißt Du ja nicht ab welchem i = 1 ...n die EW negativ werden wenn Du sie geordnet hast. Das die Matrix aber indefinit ist, ist klar sofern halt obige Bedingung gegeben ist.

05.01.2006, 15:52

phi

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RE: Harmonisch <=> Indefinite H-Matrix
Stimmt, das ist ein berechtigter Einwand. Aber nach einer Definition im Buch (A2/S.Hildebrandt) aus dem auch die Aufgabe stammt, gilt ein kritischer Punkt x_o als degeneriert, wenn det H =0 ist, also alle EW´s Null wären. Das würde ja H ist semidefint bedeuten.

Vielleicht meint er "nicht-definit" im weitesten Sinne, also auch semi-definit ?

Die Ordnung der Eigenwerte nach ihrer Größe $\begin{eqnarray*} \lambda _1 \leq \lambda _2 \leq \ ... \ \lambda _n \end{eqnarray*}$ wird in der benutzten Definition vorrausgesetzt.

Ich schau mal nach ob man "1. und 2. Ableitungen alle 0" als "triviale Nicht-Vorraussetzung" annehmen kann.

Ob die Aufgabe gelöst ist oder nicht find ich jetzt aber spannend.

mfg, phi

05.01.2006, 19:39

Mazze

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Zitat:

det H =0 ist, also alle EW´s Null

die Determinante ist das Produkt der Eigenwerte. Im speziellen ist (für A symmetrisch)

$\begin{eqnarray*} det(A) = det(PDP^T) = det(P)det(D)det(P^T) \end{eqnarray*}$

da P orthogonal ist, ist die Determinante nun 1,-1 womit folgt das
entsprechend von $\begin{eqnarray*} P^T \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} det(A) = det(D) \end{eqnarray*}$

naja und da siehste ja selbst das 0 sein kann auch wenn nicht alle EW 0 sind.

Wenn einer 0 ist ist die Determinante 0, müssen also nicht zwingend alle null sein wenn det H = 0 ist. Aber ich weiß halt nicht in welchem Kontext Du das da alles machst insofern fehlt mir da was. (hatte mit hessematrix noch nix zu tun)

06.01.2006, 13:40

phi

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Hab noch mal drüber nachgedacht, und bin mir jetzt sicher dass es bei dieser Aufgabe ausreicht die Semidefinitheit zu zeigen, da wenn det H = 0 ist (egal wie die Eigenwerte aussehen) man nicht sagen kann ob in diesem (degenerierten) kritischen Punkt ein Maximum, Minimum oder Sattelpunkt vorliegt.

Und dass ist gerade ein Merkmal harmonischer Funktionen.

Ich denke es passt scho´. Bin aber für jede Kritik dankbar...(vlt. hat noch ein Analysis-Spezi was dazu zu sagen?)

mfg, phi.

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