linear unabhängige Familien?

04.01.2006, 18:29

jentowncity

linear unabhängige Familien?

Hallo an alle,

sitze schon ne ganze Weile an folgender Aufgabe und weiß immer noch nicht genau was ich machen soll. also die Aufgabe:

Sei A die folgende Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ :
a) A := $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$
b) A := [0;1)

Sind die Familien $\begin{eqnarray*} (f_j)_j\in3 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} (g_j)_j\in3 \end{eqnarray*}$
im $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ - Vektorraum F(A, $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ) linear unabhängig?
für x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ A sei
$\begin{eqnarray*} f_1(x):=2, f_2(x):=2\mid x \mid -1, f_3(x):=x-3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g_1(x):=x, g_2(x):=[x] +3x^2 , g_3(x):=x^2+2x \end{eqnarray*}$

Jetzt weiß ich nicht genau was ich hier machen soll. verwirrt

Meine erste Idee war die fs bzw. gs als Vektoren zu betrachten und dann ganz normal die lineare Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit zu zeigen, einmal für a) und einmal für b).

es ergibt sich dann:
$\begin{eqnarray*} 2\alpha + (2\mid x \mid-1)\beta + (x-3)\gamma = 0 \end{eqnarray*}$ für f und
$\begin{eqnarray*} x\alpha + ([x]+3x^2)\beta + (x^2+2x)\gamma = 0 \end{eqnarray*}$ für g

nun würde ich das ganze halt irgendwie ausrechnen bzw. gucken ob man das auch so sieht, was rauskommt.
Z.B. denke ich, dass für a) f linear unabhängig ist wegen dem Betrag von x und g wegen der Gaußklammer.
und bei b) fällt das Betragszeichen (da [0;1)) und Gauß wird zu 0.

Kann mir jemand sagen ob das soweit richtig ist?

04.01.2006, 18:37

therisen

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RE: linear unabhängige Familien?

Zitat:

Original von jentowncity
Sind die Familien $\begin{eqnarray*} (f_j)_j\in3 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} (g_j)_j\in3 \end{eqnarray*}$

Meintest du $\begin{eqnarray*} (f_j)_{j\in3} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} (g_j)_{j\in3} \end{eqnarray*}$

Selbst dann ist die Aussage noch seltsam, die Zahl 3 ist doch keine Menge?!

04.01.2006, 18:44

jentowncity

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RE: linear unabhängige Familien?
Moin,

ja, da ist die 3 noch unterstrichen, was wahrscheinlich bedeutet, dass 1,2,3 enthalten sind

04.01.2006, 19:41

Leopold

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Die Ansätze sind richtig. Nur - was bedeutet die $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ auf der rechten Seite jeweils? Das ist hier nämlich die Nullfunktion: $\begin{eqnarray*} 0(x) = 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ . Du darfst also spezielle $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ einsetzen. Wenn du das für drei Werte machst, erhältst du ein lineares 3×3-Gleichungssystem in $\begin{eqnarray*} \alpha,\beta,\gamma \end{eqnarray*}$ . Wenn sich dieses nur mit $\begin{eqnarray*} \alpha = \beta = \gamma = 0 \end{eqnarray*}$ lösen läßt, dann bist du fertig, und die Familie ist als linear unabhängig nachgewiesen. Wenn es allerdings nichttriviale Lösungen besitzt, dann bist du genau so gescheit wie vorher. Aber du könntest dann versuchen, mit einer nichttrivialen Lösung allgemein $\begin{eqnarray*} \alpha f_1 + \beta f_2 + \gamma f_3 = 0 \end{eqnarray*}$ durch Nachrechnen nachzuweisen.

Für $\begin{eqnarray*} A = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ sind sowohl bei a) als auch bei b) die Familien linear unabhängig, für $\begin{eqnarray*} A = [0,1) \end{eqnarray*}$ jedoch nicht. Beachte: $\begin{eqnarray*} |x| = x , \, [x] = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in [0,1) \end{eqnarray*}$

05.01.2006, 01:44

jentowncity

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Danke Leopold für deine Tips, bin jetzt auf dem besten Weg Rock

Den letzten hab ich allerdings schon in meiner Vermutung als "Betragszeichen fällt und Gauß(klammer) wird zu 0" erwähnt.
und mit a) und b) meintest du wahrscheinlich $\begin{eqnarray*} f_j \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g_j \end{eqnarray*}$

Aber danke trotzdem vielmals

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