Normalverteilung - Intervall angeben

04.01.2006, 19:26

antykoerpa

Normalverteilung - Intervall angeben

Hi!

Ich sitze vor folgender Aufgabe:
"Eine Meßgröße hat eine normalverteilte Dichte N(20, 2).
Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird ein Wert > 22 gemessen?
Geben Sie ein Intervall [20-a, 20+a] an, in dem sich 98% der Meßwerte befinden."

Die Wahrscheinlichkeit auszurechnen ist ja nicht das Problem. Jedenfalls habe ich das über eine Standardisierung gemacht:
$\begin{eqnarray*} Z(X) = \frac{22-20}{2} = 1 \Rightarrow \phi (1) = 0.8413 \end{eqnarray*}$
Also ist die WK dafür, dass ein Wert > 22 gemessen wird $\begin{eqnarray*} 1 - 0.8413 = 0.1587 \end{eqnarray*}$ .
Ist das soweit erstmal richtig? Wenn ja, komme ich zu meinem Problem. Wie kann ich das Intervall berechnen?
Danke für eure Hilfe.

04.01.2006, 19:49

sqrt(2)

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Am besten mit einer Tabelle. Für deine standardisierte Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} X' \end{eqnarray*}$ muss für eine Grenze $\begin{eqnarray*} a' \end{eqnarray*}$ gelten

$\begin{eqnarray*} P(X'<a')-P(X'<-a')&\geq&0.98\\\Phi(a')-\Phi(-a')&\geq&0.98\\2\Phi(a')-1&\geq&0.98 \end{eqnarray*}$ .

Das löst du nach $\begin{eqnarray*} \Phi(a') \end{eqnarray*}$ auf und suchst dir aus der Tabelle ein passendes $\begin{eqnarray*} a' \end{eqnarray*}$ . Dieses kannst du dann wiederum mit

$\begin{eqnarray*} a'=\frac{a}{\sigma} \end{eqnarray*}$

(was analog zur Standardisierung der Zufallsvariable ist) in ein $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ umwandeln.

04.01.2006, 22:59

bil

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RE: Normalverteilung - Intervall angeben

Zitat:

Original von antykoerpa
Geben Sie ein Intervall [20-a, 20+a] an, in dem sich 98% der Meßwerte befinden."

die aufgabe kann man recht leicht mit den sigma-regeln lösen. schau dir mal diesen thread an.
Beurteilende Statistik - Fragen zu Aufgaben

vergiss nicht, bei dir ist $\begin{eqnarray*} \mu=20 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma=2 \end{eqnarray*}$
(das spiel mit N(mu,sigma^2) hatten wir ja schonmal aber wie es aussieht neigt dein prof N(mu,sigma) zu wählen Augenzwinkern

)

gruss bil

04.01.2006, 23:00

antykoerpa

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hehe, daran kannst du dich sogar noch erinnern? smile

Cool... Ich werd mir den Thread mal reinziehen und schauen was ich machen kann Augenzwinkern

04.01.2006, 23:14

bil

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Zitat:

Original von antykoerpa
hehe, daran kannst du dich sogar noch erinnern? smile

logo

...

wie du sehen wirst, führt mein gegebener link auch wieder zu diesem thread zurück...

gruss bil

05.01.2006, 20:31

antykoerpa

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ich blicke da nicht so ganz durch. ich soll ein a angeben, bzw. ein intervall [20-a,20+a] in dem sich 98% der Messwerte befinden. Der Erwartungswert und die Standardabweichung sind bereits gegeben. Mein erster Versuch war in einer Tabelle der Normalverteilung nach dem Wert 0.98 zu suchen. Der ist bei 2,5. Zwar nicht genau, aber da ist er am nächsten dran. (wer weiß ob das überhaupt richtig ist? smile

)
Aber weiter weiß ich nun auch nicht. :/

05.01.2006, 20:51

bil

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hi...
ok.. die sigmaregeln besagen folgendes für normalverteilte Zuvallsvariable X.
wie es auch in meinem link stand:

$\begin{eqnarray*} [\mu - \sigma, \mu + \sigma] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(\mu - \sigma \leq X \leq\mu +\sigma)=0.683 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [\mu - 2\sigma, \mu + 2\sigma] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(\mu - 2\sigma \leq X \leq\mu +2\sigma)=0.955 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [\mu - 3\sigma, \mu + 3\sigma] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(\mu - 3\sigma \leq X \leq\mu +3\sigma)=0.997 \end{eqnarray*}$

jetzt zur deiner aufgabe. du suchst ein intervall

$\begin{eqnarray*} [\mu - k\sigma, \mu + k\sigma] \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} [20 - k\sigma, 20 + k\sigma] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(\mu - k\sigma \leq X \leq\mu +k\sigma)=0.98 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} P(20 - k\sigma \leq X \leq 20 +k\sigma)=0.98 \end{eqnarray*}$

jetzt setzt mal dein k=2.5 oder besser k=2.4 ein. dann erhälst du

$\begin{eqnarray*} P(\mu - 2,4\sigma \leq X \leq\mu +2,4\sigma)=P(20 - 2,4\cdot 2 \leq X \leq 20 +2,4\cdot 2)=??? \end{eqnarray*}$

das solltest du berechnen können oder?

gruss bil

05.01.2006, 20:57

antykoerpa

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Danke Bil! Prost

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