Faktorielle und Hauptidealringe

11.05.2008, 17:24

Faktorielle und Hauptidealringe

Hallo,
wir sollen beweisen, dass wenn R ein faktorieller Ring ist und jedes von a und b erzeugte Ideal (aR + bR) auch ein Hauptideal ist, dass dann R ein Hauptidealring sein muss.

Ich würde gerne Wissen ob der folgende Beweis dazu geht, da er mir doch zu einfach aussieht und ich irgendwie mit dem noch nicht ganz zufrieden bin.

Also sei I ein Ideal des Ringes, dann gilt ja:
$\begin{eqnarray*} I = a_1R + a_2R + ... + a_nR \end{eqnarray*}$

Wobei $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ die Elemente des Ideals sind.

Nach Voraussetzung kann ich a_1 und a_2 in einem Ideal zusammenfassen, also z.B. in c'R:
$\begin{eqnarray*} I = c'R + a_3R + ... + a_nR \end{eqnarray*}$

Dies Ideal c'R könnte ich mit a_3R wieder zusammenfassen und immer so weiter, bis irgendwann $\begin{eqnarray*} I = cR \end{eqnarray*}$ gilt, womit gezeigt wäre, dass das Ideal I auch ein Hauptideal ist.

Was mir sorgen macht ist, wie sieht es aus, wenn I keine endliche Anzahl an Elementen besitzt? Könnte man das dann immer noch so machen?

Oder ist etwas an dem Beweis elementar falsch oder kann man es anders beweisen?

Über Antworten würde ich mit freuen.

Grüße
42

11.05.2008, 17:59

therisen

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RE: Faktorielle und Hauptidealringe

Zitat:

Original von 42
Was mir sorgen macht ist, wie sieht es aus, wenn I keine endliche Anzahl an Elementen besitzt? Könnte man das dann immer noch so machen?

Ja, das macht mir auch Sorgen Augenzwinkern

Dann klappt dein Beweis natürlich nicht. Bisher hast du auch noch gar nicht verwendet, dass dein Ring faktoriell ist.

11.05.2008, 19:47

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Hallo,
gut, faktoriell heißt ja, dass jedes Element eine Zerlugung in irreduzible/prim Elemente besitzt.
Ich zerlege a_i in seine irreduziblen Elemente, z.B. $\begin{eqnarray*} a_i = q_1q_2 \end{eqnarray*}$

Dann wäre $\begin{eqnarray*} a_iR = (q_1q_2)R \end{eqnarray*}$
Daraus kann ich schließen, dass $\begin{eqnarray*} a_iR \subseteq q_1R \text{ und } a_iR \subseteq q_2R \end{eqnarray*}$

Nur hilft mir dies beim Ideal nicht wirklich weiter.
$\begin{eqnarray*} I = (q1q2)R + a_2R + ...+ a_nR \text{ für } a_1 = q_1q_2 \end{eqnarray*}$

Wie könnte ich nun daraus schließen, dass I nur von einem Element erzeugt wird?

Über hilfe wäre ich wirklich dankbar.

Grüße
42

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