Beweis zur Pyramide

Neue Frage »

marci_ Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis zur Pyramide
die punkte P,Q,R und S bilden die eckpunkte einer dreiseitigen pyramide mit der spitze S. die punkte M1 und M2 sind die mittelpunkte der strecken PQ und PR, die punkte M3 und M4 sind die mittelpunkte der strecken QS und RS.
Zeige, dass M1M2=M3M4 gilt.

ja ich weiß nicht wie ich anfangen soll...
mit nem geschlossenen vektorzug?
aber wie bestimm ich jede einzelne seite?
kann ich es als gleichseitiges dreieck sehen?
dann kann ich beweisen, dass |a|=|b| ist...
reicht das?
bitte helft mir
(oder geht das mit dem strahlensatz?)


edit: Titel erweitert
Johko
Brödl Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis
Wenn in der Aufgabe nicht steht dass die Pyramide bzw. die Grundfläche gleichseitig ist darfst du das auch nicht annehmen!
Für den Strahlensatz bräuchtest du parallele Strecken.
Ich würds auch mit Vektorketten probieren und vielleicht die Spitze als Nullpunkt ansehen.
 
 
Poff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis
Was soll das M1M2=M3M4 heißen?
Gleiche Länge oder parallel.

Kommando zurück, da gibts fast nichts zu beweisen
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Wendet man den Strahlensatz zweimal an, einmal mit P und einmal mit S als Zentrum, sieht man das für beliebige (!) 3-Simplex-Pyramiden tatsächlich Parallelität und Längengleichheit gilt:





Vlt. errinnert sich jemand an dieses kleine Holzpielzeug mit zwei Klötzchen die zusammen ein Tetraeder ergeben? Auch bei Nicht-Tetraedern ist der Streckenzug M1M2M3M4 ein Parallelogramm. Beim Tetraeder ists ein Rechteck.

mfg, phi.


Edit: falsches Symbol durch Parallel-Symbol ersetzt.
marci_ Auf diesen Beitrag antworten »

geht das nur mit dem strahlensatz?
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Morgen,

Nein, es ginge auch analytisch, d.h. mit Koordinaten x,y,z; geben wir ihnen einfach mal Namen:






Damit bekommen wir für die Mittelpunkte:









So und jetzt rechne die euklidische Längen M1M2 und M3M4 aus...bzw. falls jemand noch an die Parallelität zweifelt, vergleicht die Richtungsvektoren von M1M2 und M3M4...

mfg, phi.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von phi
Auch bei Nicht-Tetraedern ist der Streckenzug M1M2M3M4 ein Parallelogramm. Beim Tetraeder ists ein Rechteck.

Mit Tetraeder meinst du ein reguläres Tetraeder.
Und mit Nicht-Tetraeder ein (allgemeines) Tetraeder.
Sehe ich das richtig? Augenzwinkern

Legende:
phi-Bezeichnung
übliche Bezeichnung in der Mathematik
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau. Stimmt, man nennt ja jedes konvexes 3-Simplex als Tetraeder.

Edit: Legend kapiert
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

In einem Dreieck nennt man eine Strecke, die die Mitten zweier Seiten verbindet, Mittellinie. Über diese Mittellinien gilt der Satz:

Jede Mittellinie eines Dreiecks ist parallel zu einer Seite des Dreiecks und halb so lang wie diese.

Der Beweis ist elementar und bedarf nicht einmal irgendwelcher Ähnlichkeitsbetrachtungen. Man kann das über die Kongruenz erledigen oder Sätze über die Mittelparallele eines Parallelenpaars (eine solche halbiert jede Querstrecke zwischen den Parallelen) und über Parallelogramme heranziehen (siehe Zeichnung).

Und hier ist Mittellinie in und Mittellinie in . Ein Vergleich der Mittellinien mit der Strecke (siehe obiger Satz) zeigt alles.

Es gibt dazu ein hübsches ebenes Analogon. Man denke sich beim Tetraeder das Dreieck an umgeklappt, so daß es mit dem Dreieck in einer Ebene liegt. Dann ist ein Viereck mit als Diagonale. Verbindet man nun die Mittelpunkte der Seiten eines Vierecks wieder zu einem Viereck, so nennt man dieses das Mittenviereck. Und über ein solches gilt:

Das Mittenviereck eines jeden Vierecks (nicht einmal Konvexität ist nötig) ist stets ein Parallelogramm.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »