Gruppenaxiome

11.05.2008, 20:21

irre.flexiv

Gruppenaxiome

Für die Definition einer Gruppe reicht ja bereits die schwächere Variante, in der nur von linksneutralem Element und Linksinversen ausgegangen wird. In allen Lehrbüchern die ich kenne wird erst gezeigt, dass Linksinverse auch Rechtsinverse sind und damit dann die Rechtsneutralität des linksneutralen Elements gezeigt. Kann man den letzten Punkt auch ohne Umweg über die Inverse zeigen?

Gruß

11.05.2008, 20:36

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Hallo,

Zitat:

Kann man den letzten Punkt auch ohne Umweg über die Inverse zeigen?

Wüsste spontan nicht wie, erachte dies aber auch für recht unnötig.

Und so kompliziert ist der Weg auch nicht:
a x e = a x (a^-1 x a) = (a x a^-1) x a = e x a = a

In der Mathematik gehts doch darum, aus möglichst wenig Annahmen/Axiomen möglichst viel zu folgern. Weswegen man deswegen keine bereits gezeigten Folgerungen verwenden sollte, um irgendwelche weiteren Gesetze/Sätze zu folgern (linksinverse Element ist auch rechtsinvers) ist mir rätselhaft.

11.05.2008, 21:28

irre.flexiv

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Du interpretierst meine Frage nicht richtig. Ich finde weder den Standardweg zu kompliziert noch bin ich pauschal dagegen bereits gezeigtes zu verwenden. Ich frage nur weil es mich interessiert. Und ich glaube, dass ich 'ne Möglichkeit gefunden habe. Also wie gesagt, die Existenz von linksneutralem und linksinversen Elementen vorausgesetzt, kann man versuchen die folgende Gleichung zu lösen.

Seien $\begin{eqnarray*} a,b,x \in G \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ linksinvers zu $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ linksneutral.

$\begin{eqnarray*} a\cdot x = a ~\Rightarrow~ (b\cdot a)\cdot x= b\cdot a ~\Rightarrow~ e\cdot x = e \end{eqnarray*}$

Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ rechtsneutral ist. Jetzt muss man nur noch zeigen, dass die beiden identisch sind. Geht das so?

Gruß

11.05.2008, 21:40

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von irre.flexiv
$\begin{eqnarray*} a\cdot x = a ~\Rightarrow~ (b\cdot a)\cdot x= b\cdot a ~\Rightarrow~ e\cdot x = e \end{eqnarray*}$

Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ rechtsneutral ist.

Was genau machst du an dieser Stelle? Mit $\begin{eqnarray*} a\cdot x = a \end{eqnarray*}$ setzt du doch bereits voraus, dass $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ rechtsneutral ist. Insofern hast du gar nichts gezeigt ...

14.05.2008, 16:42

irre.flexiv

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Achso. Ich bin von der Kürzungsregel ausgegangen. In der abgeschwächten Version der Gruppenaxiome gilt wegen der Existenz der Linksinverse

$\begin{eqnarray*} a\cdot b = a\cdot c ~\Rightarrow~ b = c \end{eqnarray*}$

woraus die eindeutige Lösbarkeit der Gleichung

$\begin{eqnarray*} a\cdot x = b \end{eqnarray*}$

folgt. Dann habe ich einfach $\begin{eqnarray*} b = a \end{eqnarray*}$ gewählt.

14.05.2008, 17:57

WebFritzi

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Was du hier zeigst, ist folgendes: "Gibt es ein rechtsneutrales Element, dann ist es e". Das zeigt aber nicht, dass e auch rechtsneutral ist.

14.05.2008, 20:37

irre.flexiv

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Aber $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ löst doch jede Gleichung $\begin{eqnarray*} a\cdot x = a \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a\in G \end{eqnarray*}$ . Ist es damit nicht das rechtsneutrale Element?

14.05.2008, 21:53

WebFritzi

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Zitat:

Original von irre.flexiv
Aber $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ löst doch jede Gleichung $\begin{eqnarray*} a\cdot x = a \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a\in G \end{eqnarray*}$ .

Das hast du aber nicht gezeigt. Du hast nur gezeigt, dass e die Gleichung löst, wenn es eine Lösung gibt. Aber gibt es eine solche?
Wenn du in deiner Implikationskette die Pfeile zu Äquivalenzpfeilen machst (dann stimmt die Aussage nämlich auch) oder die Pfeile einfach umdrehst, dann hast du das gezeigt. Aber dazu brauchst du dann die Aussage, dass das Linksinverse auchh ein Rechtsinverses ist.

14.05.2008, 22:00

irre.flexiv

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Ah okay, jetzt hab ichs. Danke

16.05.2008, 15:21

irre.flexiv

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Zitat:

[..] Aber dazu brauchst du dann die Aussage, dass das Linksinverse auchh ein Rechtsinverses ist.

Hmm, stimmt das wirklich? Es reicht doch schon aus, dass b ein Linksinverses besitzt oder?

$\begin{eqnarray*} e\cdot e = e ~\Rightarrow~ (b\cdot a)\cdot e = b\cdot a ~\Rightarrow~ a\cdot e = a \end{eqnarray*}$

16.05.2008, 15:55

Mathespezialschüler

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Ja.

16.05.2008, 18:54

WebFritzi

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OK, du kannst von b wieder das Linksinverse nehmen und von links dranmultiplizieren.

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