Konstante Funktion

11.05.2008, 20:54	Anne86	Auf diesen Beitrag antworten »
Konstante Funktion Einen schönen Abend. Ich soll folgendes zeigen. Sei $\begin{eqnarray} f : D \to \mathbb{C} \end{eqnarray}$ holomorph auf dem Gebiet $\begin{eqnarray} D \subset \mathbb{C} \end{eqnarray}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ konstant $\begin{eqnarray} \Longleftrightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|f\| \end{eqnarray}$ konstant. Also die Richtung $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ ist einfach. Aber wie kann ich die andere Richtung am besten zeigen? Gruß Anne
11.05.2008, 21:33	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Spontan fällt mir das Maximumsprinzip ein. Da gehts es ja gerade darum, dass $\begin{eqnarray} \|f\| \end{eqnarray}$ in einem bestimmten Gebiet ein lokales Maximum hat und dann folgt daraus schon, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ konstant war.
12.05.2008, 10:18	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
@ system-agent Du "zäumst hier das Pferd von hinten auf". Sätze wie das Maximumprinzip ergeben sich später aus Eigenschaften wie der hier zu zeigenden. Es seien $\begin{eqnarray} z = x + \operatorname{i} y \, , \ \ f = u + \operatorname{i} v \end{eqnarray}$ die kanonischen Zerlegungen in Real- und Imaginärteil. Es gelten die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen (der Index bezeichnet die entsprechende partielle Ableitung) $\begin{eqnarray} u_x = v_y \, , \ \ u_y = - v_x \end{eqnarray}$ Es sei nun $\begin{eqnarray} \|f\| \end{eqnarray}$ konstant. Gilt $\begin{eqnarray} \|f\| = 0 \end{eqnarray}$ , so folgt sofort $\begin{eqnarray} f = 0 \end{eqnarray}$ , und die Behauptung ist bewiesen. Wir nehmen daher $\begin{eqnarray} \|f\| = c > 0 \end{eqnarray}$ an: $\begin{eqnarray} \|f\| = c \ \ \Leftrightarrow \ \ \|f\|^2 = c^2 \ \ \Leftrightarrow \ \ u^2 + v^2 = c^2 \end{eqnarray}$ Die letzte Gleichung wird nach $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ differenziert. Man erhält die beiden Beziehungen $\begin{eqnarray} uu_x + vv_x = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} uu_y + vv_y = 0 \end{eqnarray}$ Man multipliziert die erste Gleichung mit $\begin{eqnarray} u_y \end{eqnarray}$ , die zweite mit $\begin{eqnarray} u_x \end{eqnarray}$ und subtrahiert die Gleichungen voneinander: $\begin{eqnarray} vu_yv_x - vu_xv_y = 0 \end{eqnarray}$ Mit den CR-Differentialgleichungen ergibt sich hieraus: $\begin{eqnarray} v \left( v_x^2 + v_y^2 \right) = 0 \end{eqnarray}$ Wenn man umgekehrt die erste Gleichung mit $\begin{eqnarray} v_y \end{eqnarray}$ , die zweite mit $\begin{eqnarray} v_x \end{eqnarray}$ multipliziert und wieder subtrahiert, erhält man unter Verwendung der CR-Differentialgleichungen entsprechend $\begin{eqnarray} u \left( v_x^2 + v_y^2 \right) = 0 \end{eqnarray}$ Man quadriert die zuletzt erhaltenen Gleichungen und addiert sie: $\begin{eqnarray} v^2 \left( v_x^2 + v_y^2 \right)^2 + u^2 \left( v_x^2 + v_y^2 \right)^2 = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \left( u^2 + v^2 \right) \left(v_x^2 + v_y^2 \right)^2 = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ c^2 \left(v_x^2 + v_y^2 \right)^2 = 0 \end{eqnarray}$ Hieraus kann man ziemlich starke Folgerungen für $\begin{eqnarray} v_x,v_y,u_x,u_y \end{eqnarray}$ ziehen (beachte, daß alle Größen reell sind). Nämlich? Und wie führt man die Sache zu Ende?
12.05.2008, 12:49	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
@Leopold Meinst du man könnte auch mit dem Offenheitssatz argumentieren (den wir in der Vorlesung vor dem Maximumsprinzip bewiesen hatten): Weil $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ hol ist, muss $\begin{eqnarray} f(D) \end{eqnarray}$ offen in $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ sein. Nun ist aber $\begin{eqnarray} \|f(z)\| \end{eqnarray}$ konstant für jedes $\begin{eqnarray} z\in D \end{eqnarray}$ , also entweder $\begin{eqnarray} =0 \end{eqnarray}$ , dann trivial oder $\begin{eqnarray} =c>0 \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} \|f(z)\|=c>0 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} f(D) \end{eqnarray}$ ein Kreis in $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ , also insbesondere nicht offen, also muss $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ konstant sein.
12.05.2008, 13:24	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Es kommt halt immer drauf an, wieviel der Fragesteller schon weiß. Leopolds Ansatz ist der elementarste. Genauso wäre ich da auch rangegangen, da man halt nicht weiß, wie weit Anne in ihrer Vorlesung schon ist.

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