Konvergenz einer Reihe

05.01.2006, 12:06

kingskid

Konvergenz einer Reihe

wie kann ich diese reihe auf konvergenz untersuchen??

weiß leider kein kriterium dass mir weiterhilft...

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^\infty~ \frac{ln(1+\frac{1}{k})}{ln(k^{ln(k+1)})} \end{eqnarray*}$

05.01.2006, 12:10

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Wenn du die Logarithmen vereinfachst, ergibt sich eine wunderschöne Teleskopsumme. smile

05.01.2006, 12:15

kingskid

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und das siehst du so auf einen blick?? Heben sich bei einer Teleskopsumme fast alle Reihenglieder weg?
und wie kann ich die logartihmen vereinfachen?

05.01.2006, 12:17

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Dafür gibt es Logarithmengesetze. Versuche die so anzuwenden, dass außer $\begin{eqnarray*} \ln(k) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \ln(k+1) \end{eqnarray*}$ keine weiteren Logarithmen im Reihenglied auftauchen.

05.01.2006, 12:28

kingskid

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aber ich darf doch den ln nicht in ne summe reinziehen?!?

und im nenner komm ich nur soweit:
$\begin{eqnarray*} ln(k)^{ln(k+1)} = ln (k+1)\cdot ln(k) = ln(k+1+k)=ln(2k+1) \end{eqnarray*}$

05.01.2006, 12:45

klarsoweit

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Zitat:

Original von kingskid
$\begin{eqnarray*} ln (k+1)\cdot ln(k) = ln(k+1+k)=ln(2k+1) \end{eqnarray*}$

Und wieder sind es die Logarithmusgesetze, wo sich tiefe Wissenslücken auftun.
$\begin{eqnarray*} ln(a) \cdot ln(b) \neq ln(a+b) \end{eqnarray*}$

Bedenke auch $\begin{eqnarray*} 1 + \frac{1}{k} = \frac{k+1}{k} \end{eqnarray*}$

05.01.2006, 12:45

Leopold

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Die erste Umformung ist richtig, die zweite dafür gräßlich falsch. Es gilt zwar

$\begin{eqnarray*} \ln{(uv)} = \ln{u} + \ln{v} \end{eqnarray*}$

aber nicht

$\begin{eqnarray*} \ln{(u+v)} = \text{Nein! Ich schreibe es erst gar nicht hin!} \end{eqnarray*}$

05.01.2006, 13:22

kingskid

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hm... versteh ich nicht wie ich das umformen kann um auf die teleskopsumme zu kommen...

05.01.2006, 13:35

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Den Nenner hast du. Und den Zähler: $\begin{eqnarray*} \ln\left(1+\frac{1}{k}\right) = \ln\left(\frac{k+1}{k}\right) = \ln(k+1)-\ln(k) \end{eqnarray*}$

Schwere Geburt.

05.01.2006, 13:56

kingskid

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ah *lichtaufgeh* DANKE ...

stimmt es dann, dass bei der summe

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{ln2} - \frac{1}{ln(t+1)} \end{eqnarray*}$

übrigbleibt und die Reihe somit gegen 1/ln2 konvergiert (für t gegen unendlich) ??

05.01.2006, 13:57

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So ist es. Rock

05.01.2006, 14:00

kingskid

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juhu

and THX4HELP!!!

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Konvergenz einer Reihe

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