Hinreichende Bedingung für Extrema |
| 05.01.2006, 15:52 | Poldi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Hinreichende Bedingung für Extrema ich habe ein Verständnisproblem mit der hinreichenden Bedingung für Extrema: Wenn f n-mal differenzierbar ist und und dann liegt ein Extremum vor, wenn n gerade und keines, wenn n ungerade ist. Wie muss ich dieses Kriterium (insbesondere bei beliebig oft differenzierbaren Funktionen) verstehen? Meine Interpretation wäre, dass, wenn eine "gerade Ableitung" (also z.B. die 6. Ableitung) ungleich Null ist und alle "vorherigen ungeraden Ableitungen" (also die 1., 3., 5. Ableitung) gleich Null sind, ein Extremum an der betroffenen Stelle vorliegt. Ist das so richtig??? Und wäre das gleichbedeutend mit: es muss eine "gerade Ableitung" sein, welche als erste an der betroffenen Stelle ungleich Null ist. Und kein Extremum läge demnach dann vor, wenn die erste Ableitung, welche an der betroffenen Stelle ungleich 0 ist, eine "ungerade Ableitung" ist. Wäre nett, wenn mir jemand sagen könnte, ob meine unmathematische ausgedrückte Interpretation des Kriteriums denn wohl richtig ist. Danke und Gruß Poldi |
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| 05.01.2006, 16:03 | MrPSI | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
??? Woher hast du das Kriterium? Kann sein, dass ich mich noch nicht genug auskenne, aber lernt man in der Schule nicht, dass, wenn die Funktion f(x) vorliegt und und ist, dann ein Extremum vorliegt. |
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| 05.01.2006, 16:03 | phi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Beispiel f(x)=x^3 (ungerade) Hier liegt im Ursprung (0,0) ein Wendepunkt, aber kein Extrempunkt vor. Im Gegensatz zur Parabel g(x)=x^2 wo in (0,0) ein Minimum ist. |
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| 05.01.2006, 16:03 | lego | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja so weit ich dich richtig verstanden habe meinst du das richtige, aber es müssen nicht nur die 1,.3.,und 5.ableitung null sein sondern auch noch die 2. und die 4. |
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| 05.01.2006, 16:11 | phi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Genau, bei f(0)=x^3 wäre die 3. Ableitung gleich 6 und bei g(0)=x^2 die 2.Ableitung gleich 2, aber alle übrigen gleich 0. |
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| 05.01.2006, 17:08 | Poldi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also kann man es tatsächlich kurz so sagen(?????): wenn zum ersten Mal bei einem geraden k ungleich 0 wird, dann liegt ein Extremum in vor. wenn zum ersten Mal bei einem ungeraden k ungleich 0 wird, dann liegt kein Extremum in vor.
u.a. von hier |
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| 05.01.2006, 18:00 | lego | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja könnte man so sagen |
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| 06.01.2006, 01:19 | MrPSI | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
wo wir gerad bei dem Thema sind: wie oft ist eine Funktion differenzierbar? Solange bis nur noch eine Konstante übrigbleibt oder bis zum Grad 1 oder wie sonst? Und woher weiß man eigentlich wann die "Schulregel"(1. Ableitung=0, 2. Ableitung <> 0) gilt und wann die allgemeine Form? Wir haben z.B. bei einer Funktion 5. Grades die Schulregel angewandt, aber bei x^4 hingegen kommt die allgemeine Form zum Einsatz. |
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| 06.01.2006, 01:22 | mercany | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Eine Polynomfunktion vom Grand n ist n+1 mal differenzierbar! Gruß, mercany |
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| 06.01.2006, 01:22 | 20_Cent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
es gibt funktionen, die nicht differenzierbar sind. Wenn du also auf deinem Weg an so einer Funktion ankommst, ist schluss. Bei normalen Polynomen bist du irgendwann bei 0, dann verändert sich nichts mehr, aber du kannst natürlcih beliebig oft weiter ableiten. mfg 20 |
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| 06.01.2006, 01:28 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
das ist zwar so gesagt nicht falsch, aber viel zu wenig; genauer wäre: polynome sind funktionen, die man unendlich oft stetig ableiten kann
da gilt natürlich: diese "schulregel" ist auch nur ein spezialfall der allgemeinen regel, der eben bei den meisten funktionen auftritt aber allgemein gilt in erster linie immer die allgemeine regel, dass eben die "hochzahl" der ersten ableitung entscheidet, die nicht mehr 0 ist (an der besagten stelle) |
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| 06.01.2006, 01:29 | mercany | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja sicher! Aber wenn mir jetzt mal von ganzrationalen Funktionen ausgehen, welche auf ganz IR differenzierbar sind, so gilt obiges. Bzw. man sagt: Eine Polynomfunktion vom Grand n ist höchstens n+1 mal differenzierbar!
Wenn man das so sieht, allerdings ist f(x) = 0 strenggenommen doch garnicht mehr idfferenzierbar... oder? Ich lasse mich da gerne noch mit einer plausiblen Erklärung belehren. Gruß, mercany |
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| 06.01.2006, 01:29 | MrPSI | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
//edit: ihr seid viel zu schnell mit dem Posten 
Danke fürs Beantworten. |
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| 06.01.2006, 01:35 | 20_Cent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
die Ableitung von f(x)=0 ist f'(x)=0, da die funktion f(x)=0 überall die steigung 0 hat. mfG 20 |
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| 06.01.2006, 01:35 | mercany | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
okey, da hat jochen natürlich wieder mal die mathematische korrekte antwort geliefert.... 
ich verbeuge mich und nehme alles gesagt zurück 
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| 06.01.2006, 01:36 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
welche erklärung wilst du hören? f(x)=0, f'(x)=0, f''(x)=0..... und wie das differenzierbar ist kannst auch gerne mal den differenzenquotienten drauflassen.... edit: eh, hasts ja schon selbst erkannt |
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| 06.01.2006, 01:37 | mercany | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ist ja gut.... ich habe mich gerade schon vor Oli im ICQ für meine Aussage geschämt. Ich nehme doch schon alles wieder zurück!!!!
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| 06.01.2006, 01:41 | MrPSI | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Da die Antworten ja sehr schell gekommen sind, hab ich in der Eile was übersehen:
Aber beim (n+1)-mal kommt ja eine 0 raus, dann hätte die Funktion nach der allg. Regel ja keine Extrema, oder hab ich da jetzt was falsch verstanden? Meine Frage mit der Differenzierbarkeit bezog sich auf die allg. Regel. Dass eine Funktion beliebig oft differenzierbar ist, ist mir schon klar. |
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| 06.01.2006, 01:44 | mercany | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das Verwechselst du etwas. Die Extrema haben nur etwas mit der 1. und 2. Ableitung zu tun, nicht aber mit der Anzahl der Differenzierbarkeit! |
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| 06.01.2006, 01:47 | MrPSI | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@mercany: Es geht hier aber ja um die allgemeine Regel zur Bestimmung der Extrema. Das mit der 1. und 2. Ableitung ist ja nach LOED nur ein Spezialfall der allg. Regel. Meine Frage ist, wie oft man bei der Anwendung der allgemeinen Regel differenzieren darf/muss, wenn man annimmt, dass die Regel dort anwendbar ist. |
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| 06.01.2006, 02:22 | mercany | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich bezweifel zwar, dass er das gesagt hat, aber warten wir ab. Er wird sicher gleich Stellung dazu nehmen.
edit: Okey, ich habe dich wohl falsch verstanden. Jochen wirds sofort richtig stellen und meine Antwort nieder machen 
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| 06.01.2006, 02:27 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
immer die erste ableitung =0 setzen dann schauen, die wievielte ableitung an den kritischen punkte das erste mal ungleich 0 ist ist das nach gerader anzahl von ableitungen, dann.... (fall 1) ist das nach ungerader anzahl von ableitungen, dann.... (fall 2) so ist die allgemeine regel, so gilt's in der schule sagt man "die zweite ableitung muss...." aber wenn die zweite ableitung schon die bedingung erfüllt (wie eben meistens in der schule), dann ist das eben nur ein spezialfall von fall 1 tritt ein weiterschauen musst du ja nur für den fall, dass eben f'' auch gerade 0 ist und dieses weiterschauen wird in der schule eben allgemein am anfang nicht erwähnt, da ist eben bei den funktionen f'' immer <>0. alles klar? |
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| 06.01.2006, 10:09 | MrPSI | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja, jetzt dürfte alles klar sein.
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