Vererbung von Monotonie

05.01.2006, 16:02

nightheron

Vererbung von Monotonie

Hallo miteinander,

Die Aufgabe lautet:
Seien f,g reelle Funktionen mit dem Definitionsbereich D.
Es gelte für alle x $\begin{eqnarray*} \in D: f(x)>0, g(x)>0. \end{eqnarray*}$
Man zeige:

a) Sind f,g monoton steigend, so ist auch f*g monoton steigend.

Soweit bin ich gekommen: Seien $\begin{eqnarray*} x,y \in D \end{eqnarray*}$ mit x<y (Monotoniebedingung) .
Dann ist zu zeigen: (f*g)(x) $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ (f*g)(y)
d.h. es ist zu zeigen: f(x)g(x) $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ f(y)g(y)

Es gilt ja weiter: f(x) $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ f(y) und
g(x) $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ g(y)

Aber wie jetzt weiter? Irgendwie hab ich den Faden verloren.

Außerdem soll ich noch zeigen, daß:

Ist f monoton steigend, so ist 1/f monoton fallend.

Vielen Dank schon mal!
Anja

05.01.2006, 16:34

phi

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RE: Vererbung von Monotonie
Aus der Vorraussetzung, dass für alle $\begin{eqnarray*} x \in D: f(x)>0, g(x)>0. \end{eqnarray*}$ gilt folgt dass auch $\begin{eqnarray*} f(x)g(x)>0 \end{eqnarray*}$ folgt. Von da aus ist´s dann einfach.

Und für die Umkehrfunktion ist diese Voraussetzung auch sehr nützlich.

mfg, phi.

05.01.2006, 16:37

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Du musst nachweisen $\begin{eqnarray*} f(y)g(y) - f(x)g(x) \geq 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x<y \end{eqnarray*}$ . Da hilft der "Einschub"

$\begin{eqnarray*} f(y)g(y) - f(x)g(x) = f(y)g(y) - f(y)g(x) + f(y)g(x) - f(x)g(x) = f(y)\Big[g(y)-g(x)\Big] + \Big[f(y)-f(x)\Big]g(x) \end{eqnarray*}$

weiter.

05.01.2006, 20:23

Mathespezialschüler

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Verschoben

@Arthur
Ist aber relativ kompliziert. Augenzwinkern

Zitat:

Original von nightheron
Es gilt ja weiter: f(x) $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ f(y) und
g(x) $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ g(y)

Aber wie jetzt weiter? Irgendwie hab ich den Faden verloren.

Richtig. Damit folgt doch alles direkt aus den Anordnungsaxiomen der reellen Zahlen!

Gruß MSS

05.01.2006, 20:40

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@MSS

Die Nichtnegativität brauchst du also nicht? Sehr interessant. Big Laugh

05.01.2006, 20:56

Mathespezialschüler

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Doch schon. Ich hatte es nur nicht nochmal explizit hingeschrieben. Ich hätte wohl besser schreiben sollen:

"Richtig. Damit und mit den Voraussetzungen $\begin{eqnarray*} f(x),g(x)>0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ folgt doch alles direkt aus den Anordnungsaxiomen der reellen Zahlen!"

Ich hoffe, damit bist du zufrieden. Augenzwinkern

Gruß MSS

05.01.2006, 21:01

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Aber auch nur in zwei Schritten $\begin{eqnarray*} f(x)g(x) \leq f(x)g(y) \leq f(y)g(y) \end{eqnarray*}$ . Und so gravierend einfacher als das, was ich geschrieben habe, ist das auch nicht. Also komm mal runter...

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