Beschränkt komplexe Folge hat konv. Teilfolge

05.01.2006, 16:15	InfoStudent	Auf diesen Beitrag antworten »
Beschränkt komplexe Folge hat konv. Teilfolge Hallo, ich habe folgende Aufgabe und bin mir nicht sicher, ob ich das so richtig mache: Eine Folge $\begin{eqnarray} (a_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray}$ komplexer Zahlen heißt beschränkt, wenn es eine reelle Konstante $\begin{eqnarray} M > 0 \end{eqnarray}$ gibt, so dass: $\begin{eqnarray} \|a_n\| \leq M \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ Zeigen sie, dass jede beschränkte Folge komplexer Zahlen eine konvergente Teilfolge besitzt. Also ich hab das jetzt so versucht: Es gilt nach Vorraussetztung $\begin{eqnarray} \| a \| = \sqrt{{Re(a)}^2 +{Im(a)}^2} \leq M \\ \Leftrightarrow {Re(a)}^2 + {Im(a)}^2 \leq M^2 \\ \Leftrightarrow {Re(a)}^2 \leq M^2 - {Im(a)}^2 \\ \Leftrightarrow {Re(a)} \leq \sqrt{M^2 - {Im(a)}^2} \end{eqnarray}$ Somit ist Re(a) beschränkt. Analog Im(a): $\begin{eqnarray} {Re(a)}^2 \leq M^2 - {Im(a)}^2 \\ \Leftrightarrow {Re(a)}^2 - M^2 \leq - {Im(a)}^2 \\ \Leftrightarrow \sqrt{{Re(a)}^2 - M^2} \leq - {Im(a)} \\ \Leftrightarrow \sqrt{ M^2 - {Re(a)}^2} \geq Im(a) \end{eqnarray}$ Somit sind sowohl Re(a) als auch Im(a) beschränkt und ich kann den Satz von Bolzano-Weierstraß anwenden, es haben Re(a) und Im(a) einen Häufungspunkt, also hat die Folge Re(a) + i * Im(a) ebenfalls mindestens einen Häufungpunkt, was Äquivalent dazu ist, das $\begin{eqnarray} (a_n) \end{eqnarray}$ eine konvergente Teilfolge enthält.
05.01.2006, 18:02	carsten	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Begruendung, dass Re(a) und Im(a) beschraenkt sind, ist so wie es da steht falsch (bzw. nicht ganz korrekt). Die reelle Konstante darf nicht mehr von $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ bzw. a abhaengen. Das laesst sich aber gaaanz einfach retten (ist auch viel schneller zu sehen), da z.B. $\begin{eqnarray} Im(a)^2 \end{eqnarray}$ immer groesser gleich null ist...
05.01.2006, 18:28	InfoStudent	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, ich weiß erlich nicht, wie ich das ganze jetzt noch "retten" könnte... Du willst doch darauf hinaus, das beschränkt bedeutet, dass die Folge nach oben UND unten beschränkt sein muss, oder? EDIT: Die Signatur ist mal schick
05.01.2006, 21:05	carsten	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann fuer Re(an) die gleiche Abschaetzung benutzen, wie fuer die komplette Folge. (sieht man recht leicht) Eventuell ist der Realteil noch "kleiner", aber das is ja Wurst edit: Tip: man muss ja nicht immer aequivalent umformen - abschaetzen ist hier einfacher
06.01.2006, 16:34	InfoStudent	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, ich dachte ich habe da oben bereits in Abschätzung gefunden? Hm, ansonsten fällt mir nur noch eine Abschätzung nach der Dreiecksungleichung ein: $\begin{eqnarray} \| a_n \| = \| Re(a) + i Im(a) \| \leq \| Re(a) \| + \| i * Im(a) \| \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \| a_n \| = \| Re(a) + i* Im(a) \| \leq M \end{eqnarray*}$ Das hilft mir aber auch nicht ganz weiter
06.01.2006, 16:45	carsten	Auf diesen Beitrag antworten »
ganz einfach so: $\begin{eqnarray} \| Re(a_n)\| \leq M \end{eqnarray}$ der Imaginaerteil auch, und warum sollte recht klar sein
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07.01.2006, 12:51	InfoStudent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok danke, hab dann nur noch eine kleine Verständniss Frage, es gilt ja nur $\begin{eqnarray} \| Re(a_n)\| \leq M \end{eqnarray}$ aber nicht zwingend $\begin{eqnarray} \| Re(a)\| \leq M \end{eqnarray}$ oder? Also eines der Re() Folgeglieder könnte auch größer M sein, dafür aber der entsprechende Im() Teil kleiner 0 so das $\begin{eqnarray} \| Re(a) + i Im(a) \| \leq M \end{eqnarray*}$ ist. (Das hat jetzt nichts mehr direkt mit der Aufgabe zu tun, möchte nur wissen ob ich das richtig verstehe )

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