frage zur grenzwertbestimmung

05.01.2006, 16:15

yun4

frage zur grenzwertbestimmung

hallo!

ich hab da mal ne frage zur grenzwertbestimmung.
angenommen ich habe folgende aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n + 3})^{5n} \end{eqnarray*}$

meine überlegung dazu:

Lösungsidee 1

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n + 3})^{5n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{n \to \infty} [(1 + \frac{1}{n + 3})^{n} \cdot (1 + \frac{1}{n + 3})^{n} \cdot (1 + \frac{1}{n + 3})^{n} \cdot (1 + \frac{1}{n + 3})^{n} \cdot (1 + \frac{1}{n + 3})^{n}] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n + 3})^{n} \cdot \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n + 3})^{n} \cdot \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n + 3})^{n} \cdot \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n + 3})^{n} \cdot \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n + 3})^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (\lim_{n \to \infty} 1 + \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n + 3})^{n} \cdot (\lim_{n \to \infty} 1 + \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n + 3})^{n} \cdot (\lim_{n \to \infty} 1 + \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n + 3})^{n} \cdot (\lim_{n \to \infty} 1 + \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n + 3})^{n} \cdot (\lim_{n \to \infty} 1 + \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n + 3})^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (1 + 0)^{n} \cdot (1 + 0)^{n} \cdot (1 + 0)^{n} \cdot (1 + 0)^{n} \cdot (1 + 0)^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (1)^{n} \cdot (1)^{n} \cdot (1)^{n} \cdot (1)^{n} \cdot (1)^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 1 \end{eqnarray*}$

Lösungsidee 2

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n + 3})^{5n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{n \to \infty} [1^{5n} + (\frac{1}{n+3})^{5n}] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{n \to \infty} 1^{5n} + \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n+3})^{5n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{n \to \infty} 1^{5n} + \lim_{n \to \infty} [(\frac{1}{n+3})^{5}]^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{n \to \infty} 1^{5n} + \lim_{n \to \infty} [(\frac{1}{n+3}) \cdot (\frac{1}{n+3}) \cdot (\frac{1}{n+3})^{3}]^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{n \to \infty} 1^{5n} + \lim_{n \to \infty} [(\frac{1}{2n^2+6n}) \cdot (\frac{1}{n+3})^{2} \cdot (\frac{1}{n+3})]^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{n \to \infty} 1^{5n} + \lim_{n \to \infty} [(\frac{1}{2n^2+6n}) \cdot (\frac{1}{2n^2+6n}) \cdot (\frac{1}{n+3})]^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{n \to \infty} 1^{5n} + \lim_{n \to \infty} [(\frac{1}{4n^4+24n^3+36n^2}) \cdot (\frac{1}{n+3})]^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{n \to \infty} 1^{5n} + \lim_{n \to \infty} [(\frac{1}{4n^5+12n^4+24n^4+72n^3+36n^3+108n^2})]^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{n \to \infty} 1^{5n} + \lim_{n \to \infty} [(\frac{1}{4n^5+36n^4+108n^3+108n^2})]^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{n \to \infty} 1^{5n} + \lim_{n \to \infty} [(\frac{\frac{1}{n^5}}{4+\frac{36}{n}+\frac{108}{n^2}+\frac{108}{n^3}})]^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{n \to \infty} 1^{5n} + [(\frac{\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^5}}{\lim_{n \to \infty}4+\lim_{n \to \infty}\frac{36}{n}+\lim_{n \to \infty}\frac{108}{n^2}+\lim_{n \to \infty}\frac{108}{n^3}})]^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{n \to \infty} 1^{5n} + [(\frac{\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^5}}{\lim_{n \to \infty}4+36\cdot\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}+108\cdot\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}+108\cdot\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^3}})]^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 1 + [(\frac{0}{4+36\cdot0+108\cdot0+108\cdot0})]^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 1 + [(\frac{0}{4})]^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 1 + [0]^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 1 + 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 1 \end{eqnarray*}$

naja, bei beiden lösungsvorschlägen bin ich mir nicht sicher, weil ich da zwischendruch glaub ich sachen gemacht hab, die sehr fragwürdig sind.

so weiss ich zum beispiel nicht, ob es rechtens ist, wenn ich den $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \end{eqnarray*}$ einfach in die $\begin{eqnarray*} (...)^n \end{eqnarray*}$ klammer reinziehe.

oder, ob es erlaubt ist $\begin{eqnarray*} (1 + \frac{1}{n + 3})^{5n} \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} [1^{5n} + (\frac{1}{n+3})^{5n}] \end{eqnarray*}$ aufzuteilen.

ich wäre für beistand sehr dankbar.
lg, yun4

05.01.2006, 16:20

20_Cent

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kennst du diesen grenzwert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}{\left(1+\frac{\alpha}{n}\right)^n}=e^{\alpha} \end{eqnarray*}$ ?

Versuche das darauf zurückzuführen.

mfG 20

05.01.2006, 16:24

mYthos

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RE: frage zur grenzwertbestimmung

Zitat:

Original von yun4

....

oder, ob es erlaubt ist $\begin{eqnarray*} (1 + \frac{1}{n + 3})^{5n} \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} [1^{5n} + (\frac{1}{n+3})^{5n}] \end{eqnarray*}$ aufzuteilen.

..

Das darfst du auf gar keinen Fall, denn es ist im Allgemeinen

$\begin{eqnarray*} (a + b)^n \neq a^n + b^n \end{eqnarray*}$

Gr
mYthos

05.01.2006, 16:41

yun4

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uff, danke dir mythos, also totaler kokolores von mir.

hm .. 20cent. der grenzwert sagt mir absolut gar nichts traurig

05.01.2006, 16:47

20_Cent

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dann wirst du die aufgabe wohl nicht lösen können, den brauchst du nämlich dafür. (Ich wüsste jetzt nicht, wie es anders geht.)
mfG 20

05.01.2006, 17:47

yun4

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hm .. aber sag mal, ist es denn "korrekt", dass ich bei der klammer

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} [(1 + \frac{1}{n + 3})^{n} \cdot (1 + \frac{1}{n + 3})^{n} \cdot (1 + \frac{1}{n + 3})^{n} \cdot (1 + \frac{1}{n + 3})^{n} \cdot (1 + \frac{1}{n + 3})^{n}] \end{eqnarray*}$

den limes einfach reinschiebe ?

$\begin{eqnarray*} = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n + 3})^{n} \cdot \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n + 3})^{n} \cdot \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n + 3})^{n} \cdot \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n + 3})^{n} \cdot \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n + 3})^{n} \end{eqnarray*}$

und hier ebenso ?

$\begin{eqnarray*} = (\lim_{n \to \infty} 1 + \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n + 3})^{n} \cdot (\lim_{n \to \infty} 1 + \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n + 3})^{n} \cdot (\lim_{n \to \infty} 1 + \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n + 3})^{n} \cdot (\lim_{n \to \infty} 1 + \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n + 3})^{n} \cdot (\lim_{n \to \infty} 1 + \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n + 3})^{n} \end{eqnarray*}$

weil, sollte das so machbar sein, dann wär doch die rechnung irgendwie richtig, oder ?

und hier hab ich noch ne andere aufgabe, zu der ich eine lösung hab, aber mal wieder nicht sicher bin, ob ich das so machen darf.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (\frac{n^3}{3^n}+\frac{n^4}{5^n}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{n \to \infty} (\frac{5n^3}{15^n}+\frac{3n^4}{15^n}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{n \to \infty} (\frac{5n^3 + 3n^4}{15^n}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{n \to \infty} (\frac{\frac{5}{n} + 3}{\frac{15^n}{n^4}}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{\lim_{n \to \infty}\frac{5}{n} + \lim_{n \to \infty}3}{\lim_{n \to \infty}\frac{15^n}{n^4}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{5 \cdot \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n} + \lim_{n \to \infty}3}{\lim_{n \to \infty}\frac{15^n}{n^4}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{5 \cdot 0 + 3}{ \infty} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{8}{ \infty} \end{eqnarray*}$

ich kann es zwar nicht begründen, aber ich vermute einfach, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{15^n}{n^4} = \infty \end{eqnarray*}$ ist.

und das ergebnis zeigt ja, dass der zähler gegen 8 konvergiert, und der nenner gegen unendlich wächst. heisst das jetzt, dass die folge gegen 0 konvergiert ? unglücklich

05.01.2006, 17:51

20_Cent

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beim ersten reinschieben ists ok, weil die einzelnen grenzwerte existieren (Grenzwertsätze), beim zweiten darfst du das auf keinen fall machen!

bei der rechnung hast du einige fehler, die lösung stimmt aber...

die lösung der letzten stimmt auch.

mfg 20

05.01.2006, 18:26

yun4

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hey 20cent, ich danke dir sehr, dass du dir zeit für meine matheprobleme nimmst.

also, ich hab mir die murksaufgabe von mir nochmal durch den kopf gehen lassen. und ich bin dann zu dieser lösung gekommen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} [(1 + \frac{1}{n + 3})^{n} \cdot (1 + \frac{1}{n + 3})^{n} \cdot (1 + \frac{1}{n + 3})^{n} \cdot (1 + \frac{1}{n + 3})^{n} \cdot (1 + \frac{1}{n + 3})^{n}] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n + 3})^{n} \cdot \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n + 3})^{n} \cdot \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n + 3})^{n} \cdot \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n + 3})^{n} \cdot \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n + 3})^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{1} + \frac{1}{n + 3})^{n} \cdot \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{1} + \frac{1}{n + 3})^{n} \cdot \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{1} + \frac{1}{n + 3})^{n} \cdot \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{1} + \frac{1}{n + 3})^{n} \cdot \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{1} + \frac{1}{n + 3})^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{n \to \infty} (\frac{1 \cdot (n+3)}{1 \cdot (n+3)} + \frac{1 \cdot 1}{(n + 3) \cdot 1})^{n} \cdot \lim_{n \to \infty} (\frac{1 \cdot (n+3)}{1 \cdot (n+3)} + \frac{1 \cdot 1}{(n + 3) \cdot 1})^{n} \cdot \lim_{n \to \infty} (\frac{1 \cdot (n+3)}{1 \cdot (n+3)} + \frac{1 \cdot 1}{(n + 3) \cdot 1})^{n} \cdot \lim_{n \to \infty} (\frac{1 \cdot (n+3)}{1 \cdot (n+3)} + \frac{1 \cdot 1}{(n + 3) \cdot 1})^{n} \cdot \lim_{n \to \infty} (\frac{1 \cdot (n+3)}{1 \cdot (n+3)} + \frac{1 \cdot 1}{(n + 3) \cdot 1})^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{n \to \infty} (\frac{n+3}{n+3} + \frac{1}{n + 3})^{n} \cdot \lim_{n \to \infty} (\frac{n+3}{n+3} + \frac{1}{n + 3})^{n} \cdot \lim_{n \to \infty} (\frac{n+3}{n+3} + \frac{1}{n + 3})^{n} \cdot \lim_{n \to \infty} (\frac{n+3}{n+3} + \frac{1}{n + 3})^{n} \cdot \lim_{n \to \infty} (\frac{n+3}{n+3} + \frac{1}{n + 3})^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{n \to \infty} (\frac{n+4}{n+3})^{n} \cdot \lim_{n \to \infty} (\frac{n+4}{n+3})^{n} \cdot \lim_{n \to \infty} (\frac{n+4}{n+3})^{n} \cdot \lim_{n \to \infty} (\frac{n+4}{n+3})^{n} \cdot \lim_{n \to \infty} (\frac{n+4}{n+3})^{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+4)^n}{(n+3)^n} \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{(n+4)^n}{(n+3)^n} \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{(n+4)^n}{(n+3)^n} \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{(n+4)^n}{(n+3)^n} \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{(n+4)^n}{(n+3)^n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{ \lim_{n \to \infty} (n+4)^n}{ \lim_{n \to \infty} (n+3)^n} \cdot \frac{ \lim_{n \to \infty} (n+4)^n}{ \lim_{n \to \infty} (n+3)^n} \cdot \frac{ \lim_{n \to \infty} (n+4)^n}{ \lim_{n \to \infty} (n+3)^n} \cdot \frac{ \lim_{n \to \infty} (n+4)^n}{ \lim_{n \to \infty} (n+3)^n} \cdot \frac{ \lim_{n \to \infty} (n+4)^n}{ \lim_{n \to \infty} (n+3)^n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{\infty}{\infty} \cdot \frac{\infty}{\infty} \cdot \frac{\infty}{\infty} \cdot \frac{\infty}{\infty} \cdot \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$

tja und ist nun $\begin{eqnarray*} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$ nun $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ unglücklich

.. ? .. weil,dann würde ja wieder 1 rauskommen, was ja korrekt sein soll .. gnah unglücklich

05.01.2006, 18:35

klarsoweit

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RE: frage zur grenzwertbestimmung
Wie 20_Cent schon sagte: Du brauchst folgenden Grenzwert:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{n} = e \end{eqnarray*}$

Deine Aufgabe kannst du darauf zurückführen. Z.B. erstmal n=k-3 substituieren.

05.01.2006, 18:55

Hobby-Mathematiker

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Also formal korrekt, unter der Vorraussetzung, dass der Grenzwert für die Eulersche Zahl e zugrundeliegt, würde das SO aussehen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }(1 + \frac{1}{n + 3})^{5n} = \lim_{n \to \infty }((1 + \frac{1}{n + 3})^{n})^{5} = \lim_{n \to \infty} [\frac{(1 + \frac{1}{n + 3})^{n+3}}{(1 + \frac{1}{n + 3})^{3}}]^{5} = [\frac{e}{(1 + 0)^{3}}]^{5} = e^{5} \end{eqnarray*}$

Wie gesagt, dafür musst du aber das kennen, was "klarsoweit" gesagt hast.

Viele Grüße

06.01.2006, 09:06

yun4

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hey,

erstmal vielen lieben dank fuer eure hilfe.
ja, also, dann werd ich wohl die korrekte loesung mit dem grenzwert fuer die eulersche zahl uebernehmen.

allerdings verstehe ich noch nicht so recht, wie kommt man von

$\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n+3})^n \end{eqnarray*}$

auf

$\begin{eqnarray*} \frac{(1+\frac{1}{n+3})^{n+3}}{(1+\frac{1}{n+3})^3} \end{eqnarray*}$

bestimmt durch

$\begin{eqnarray*} (\frac{1+\frac{1}{n+3}}{1+\frac{1}{n+3}})^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{(1+\frac{1}{n+3})^{n}}{(1+\frac{1}{n+3})^n} \end{eqnarray*}$

aber wie kommt das $\begin{eqnarray*} ^{n+3} \end{eqnarray*}$ und das $\begin{eqnarray*} ^3 \end{eqnarray*}$ zustande ?

06.01.2006, 11:07

klarsoweit

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Vielleicht hast du da was mißverstanden Also:
$\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{n+3})^n = \frac{(1+\frac{1}{n+3})^{n+3}}{(1+\frac{1}{n+3})^3} \end{eqnarray*}$
das ist simple Potenzrechnung.
Jetzt k=n+3 setzen ergibt:
$\begin{eqnarray*} \frac{(1+\frac{1}{k})^{k}}{(1+\frac{1}{k})^3} \end{eqnarray*}$
Der Zähler geht gegen e und der Nenner gegen 1.

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