Komplexe Betragsgleichung

05.01.2006, 18:22

Todi

Komplexe Betragsgleichung

Hallo liebes Matheboard Team (und auch all ihr anderen Augenzwinkern

)

Ich komme einfach bei folgender Aufgabe nicht weiter,
zu gegebenen $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ bestimme man alle $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ mit:

$\begin{eqnarray*} |{\frac{z-a}{1-bz}}| = 1 \end{eqnarray*}$ wobei b = konjugiert a

Durch Umformen komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} z \pm a = 1 \pm bz \Leftrightarrow z * ( 1 \mp b) = 1 \mp a \Leftrightarrow z = \frac{1 \mp a}{1 \mp b} \end{eqnarray*}$

Wie mache ich aber jetzte weiter ?!? verwirrt

05.01.2006, 18:25

JochenX

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ich kann deine umfomung nicht folgen

mein vorschlag wäre, dass du es mal mit z=z1+i*z2 versuchst
a=a1+ia2 und b=.....

mfg jochen

05.01.2006, 18:54

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Alternativ kann man durch Quadrieren und unter Nutzung von $\begin{eqnarray*} |u|^2=u\cdot \bar{u} \end{eqnarray*}$ zur äquivalenten Gleichung

$\begin{eqnarray*} \frac{z-a}{1-\bar{a}z} \cdot \frac{\bar{z}-\bar{a}}{1-a\bar{z}}= 1 \end{eqnarray*}$

übergehen und dann versuchen zu vereinfachen. Aber für den eher Ungeübten ist Jochens Vorschlag mit der Zerlegung in Real- und Imaginärteil sicher besser und führt fast ebenso schnell zum Ergebnis.

05.01.2006, 21:31

Mathespezialschüler

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Verschoben

06.01.2006, 16:19

Todi

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Ok vielen Dank, ich hab das nun so gemacht: (Erstmal ohne die Beträge)

$\begin{eqnarray*} z - a = 1 - \overline{a} * z \\ z * (\overline{a} + 1) = a + 1 \\ z = \frac{a+1}{\overline{a} + 1} \end{eqnarray*}$

Das würde ja aber natürlich zu Lösung noch nicht aussreichen oder? Da $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ müsst das ja noch weiter "vereinfachen", sei also $\begin{eqnarray*} a = x + iy \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} z = \frac{(x+1)+iy}{(x+1)-iy} = \frac{(x+1)+iy}{(x+1)-iy} * \frac{(x+1)+iy}{(x+1)+iy} = \frac{(x^2+1+2x-y^2)+i(2y(1+x))}{(x+1)^2+y^2} \\ = \frac{x^2+1+2x-y^2}{x^2+1+2x+y^2} + i*\frac{2y(1+x)}{x^2+1+2x+y^2} \end{eqnarray*}$

Habe ich das so nun richtig verstanden?

06.01.2006, 16:29

JochenX

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Zitat:

Original von Todi
Ok vielen Dank, ich hab das nun so gemacht: (Erstmal ohne die Beträge)

$\begin{eqnarray*} z - a = 1 - \overline{a} * z \\ z * (\overline{a} + 1) = a + 1 \\ z = \frac{a+1}{\overline{a} + 1} \end{eqnarray*}$

ohne beträge!?

bedenke aber insbesondere, dass z=1 eine viel stärkere behauptung ist als |z|=1 für eine komplexe zahl z.
betrachtest du also z=1 statt der schwächeren bedingung gehen dir viele z verloren.....

edit: aber ich muss sagen, schreibtechnisch (und vermutlich auch rechentechnisch) kommt da nicht soooo viel freude auf

06.01.2006, 18:11

Leopold

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Mit Arthurs Vorschlag geht es am schnellsten. Man muß nur den Mut finden, mit der komplexen Konjugation zu arbeiten:

Für alle $\begin{eqnarray*} z \neq \frac{1}{\bar{a}} \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{z - a}{1 - \bar{a} z} \right| = 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ \left| z - a \right|^2 = \left| 1 - \bar{a} z \right|^2 \ \ \Leftrightarrow \ \ \left( z - a \right) \left( \bar{z} - \bar{a} \right) = \left( 1 - \bar{a} z \right) \left( 1 - a \bar{z} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \ \ |z|^2 + |a|^2 - \bar{a} z - a \bar{z} = 1 + |a|^2 |z|^2 - \bar{a} z - a \bar{z} \ \ \Leftrightarrow \ \ \left( |z|^2 - 1 \right) \left( 1 - |a|^2 \right) = 0 \end{eqnarray*}$

Und jetzt kommt es auf $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ an.

07.01.2006, 18:48

Todi

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Stimmt, so ist es besser,
aber nur dass ch das richtig verstehe, ich muss es jetzt noch auf die Form z = ... bringen, oder?

Also:
$\begin{eqnarray*} \left( |z|^2 - 1 \right) \left( 1 - |a|^2 \right) = 0 \end{eqnarray*}$ dann ist
$\begin{eqnarray*} \left( |z|^2 - 1 \right) = 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \left( 1 - |a|^2 \right) = 0 \end{eqnarray*}$

So nun hat Arthur ja oben gesagt $\begin{eqnarray*} |z|^2 = z * \overline z \end{eqnarray*}$ , aber kann ich analog zu den rellen Zahlen auch sagen $\begin{eqnarray*} \left( |z|^2 - 1 \right) = 0 \ \Leftrightarrow \ |z|^2 = 1 \ \Leftrightarrow \ |z| = \sqrt{1} \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} z = 1 + i * 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z = -1 + i*0 \end{eqnarray*}$ , also einfach "die Wurzel ziehen"?

07.01.2006, 19:10

JochenX

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gibt es denn wirklich nur zwei komplexe zahlen z, für die |z|=1 gilt?

da gibt es ganz viele, in der komplexen zahlenebene (IRxIR) liegen diese auf dem einheitskreis

08.01.2006, 13:52

Todi

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Stimmt, danke daran habe ich jetzt garnicht mehr gedacht, ich sollte mir entlich mal merken, dass der Betrag im komplexen etwas anders aussieht smile

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