komplexe zahlen

05.01.2006, 18:50

kingskid

komplexe zahlen

wo liegen die komplexen zahlen z in der gaußschen ebene?
$\begin{eqnarray*} z^2 = \mid z \mid ^2 \end{eqnarray*}$

hab das mal umgeformt zu
- 2 b² + 2 a b i = 0

und

$\begin{eqnarray*} \mid \frac{z-i}{z+i}\mid \ \end{eqnarray*}$

zu $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{a²+(b-1)²} }{\sqrt{a²+(b+1)²} } \end{eqnarray*}$

aber ich kann mir nicht vorstellen wie man die zahlen in der komplexenen ebene darstellen kann??
hatte gehofft ich käm irgendwie auf ne kreisgleichung oder so was... traurig

05.01.2006, 19:59

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: komplexe zahlen

Zitat:

Original von kingskid
hab das mal umgeformt zu
$\begin{eqnarray*} - 2 b² + 2 a b i = 0 \end{eqnarray*}$

Das sieht schon gut aus (du hast offenbar gesetzt: $\begin{eqnarray*} z = a+b*i \end{eqnarray*}$ ). Diese Gleichung oben kann nur bestehen, wenn $\begin{eqnarray*} b = 0 \end{eqnarray*}$ . Dann ist auch klar, wo die Punkte liegen?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \mid \frac{z-i}{z+i}\mid \ \end{eqnarray*}$

zu $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{a²+(b-1)²} }{\sqrt{a²+(b+1)²} } \end{eqnarray*}$

Das sind erstmal Terme. Um Punkte zu beschreiben, brauchst du eine Gleichung.

Grüße
Abakus

05.01.2006, 20:18

kingskid

Auf diesen Beitrag antworten »

ah okay,... beim ersten kann ich ja dann noch gleich durch 2 teilen und bekomm:

-1 + a i = 0

und dann
$\begin{eqnarray*} a= \frac{1 \cdot i}{i\cdot i}=\frac{i}{i²} = - i \end{eqnarray*}$

ist das dann einfach der punkt (0/-1) ?? das wär ja cool...

ja bei der zweiten hab ich vergessen "=1" dazuzuschreiben.
aber wenn ich das weiter umform komm ich auf ein widerspruch?!
..irgendwas kann da nicht stimmen...

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{a²+(b-1)²} }{\sqrt{a²+(b+1)²} }= 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a² + (b-1)²= a² + (b+1)² \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (b-1)²=(b+1)² \end{eqnarray*}$ ???

MANY MANY THX4help!!

05.01.2006, 20:20

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von kingskid
ah okay,... beim ersten kann ich ja dann noch gleich durch 2 teilen und bekomm:

-1 + a i = 0

wo sind denn deine b hin!?
wenn b=0 ist, dann steht da für alle a 0=0....

das liegt einfach daran, dass für jede reelle zahl z^2=|z|^2 gilt, für jede irreelle gerade nicht....

05.01.2006, 20:36

kingskid

Auf diesen Beitrag antworten »

ops, stimmt, so schnell gehts doch net...
aber ich versteh immer noch nicht welche punkte oder bereich aus der ebene die gleichung beschreibt ???

weil wenn ich alle rellen zahlen einsetzen kann, aber irrelle nicht wie kan man das darstellen??? nur die relle achse??
verwirrt

05.01.2006, 20:39

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

alle komplexen zahlen a+bimit b=0, das liefert genau die reelle achse
ganz genau

05.01.2006, 20:48

kingskid

Auf diesen Beitrag antworten »

okay, danke! :-)

und wie komm ich bei der andren gleichung weiter?

05.01.2006, 20:50

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

darum gehts, oder?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (b-1)²=(b+1)² \end{eqnarray*}$

quadriere beide seiten mithilfe der bin. formel aus, dann folgt direkt.........

05.01.2006, 21:20

kingskid

Auf diesen Beitrag antworten »

ja kann das überhaupt gleich sein was auf den beiden seiten steht??

$\begin{eqnarray*} b²-2b+1 = b²+2b+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} - 2b = +2b \end{eqnarray*}$ ???

05.01.2006, 21:22

kingskid

Auf diesen Beitrag antworten »

dann muss b wieder null sein?

05.01.2006, 21:34

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: komplexe zahlen
Ja, genau, $\begin{eqnarray*} b = 0 \end{eqnarray*}$ .

Deine Gleichung

$\begin{eqnarray*} \mid z-i \mid~=~ \mid z+i \mid \end{eqnarray*}$

bedeutet geometrisch, dass du alle Punkte suchst, die von $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -i \end{eqnarray*}$ denselben Abstand haben.

Grüße smile

Abakus

05.01.2006, 21:42

kingskid

Auf diesen Beitrag antworten »

ah, danke dir vielmals!! das hört sich logisch an! ;-)

was bedeutet dann die erste gleichung geometrisch genau mit dem betrag von z²?

05.01.2006, 22:02

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Verschoben

05.01.2006, 22:07

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine komplexe Zahl kannst du durch Entfernung vom Ursprung und Winkel zur x-Achse hin charakterisieren.

"Umgangssprachlich beschrieben:"
Die Multiplikation mit einer komplexen Zahl entspricht einer Drehstreckung. Gestreckt (oder gestaucht) wird um den Betrag der Zahl, gedreht wird um den Winkel der Zahl zur reellen Achse.

Am besten machst du dir das an einer Zeichnung klar oder liest es nach.

Die erste Gleichung bedeutet, dass Zahlen gesucht sind, die mit sich selbst multipliziert auf der reellen, positiven Achse liegen müssen. D.h. wenn du den Winkel deiner Zahl verdoppelst, musst du auf der positiven x-Achse landen. Das geht nur für die reellen Zahlen.

Grüße smile

Abakus

06.01.2006, 07:55

kingskid

Auf diesen Beitrag antworten »

okay, dankeschön für deine erklärung!! Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

komplexe zahlen

Verwandte Themen