Bild & Kern Einer Matrix |
05.01.2006, 19:23 | zerofs2001 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Bild & Kern Einer Matrix Ich habe eine Matrix der Form A element von mit ich hab dann gauss gemacht wie öfters im forum angesprochen und erhalte dann mit der Form A*x = 0 erhalte ich für x = Ist das mein Kern? hab ich das richtig verstanden und vorallem berechnet? oder muss ich die matrix die ich beim gaus raus bekommen hab so umformen das ich auf der diagonalen überall ne 1 stehen hab? Ich hab auch schon mehrfach das mit der -1 gelesen, der sogenannte -1 trick aber wenn ich richtig gerechnet habe ist in dem kern keine -1 drin. Dann soll ich die Dimension berechnen, ich hab die Dimensionsformel, kein ding, dazu brauch ich allerdings noch das Bild, was auch wieder für probleme sorgt. Was muss ich exakt machen um das bild zu erhalten? einfach die vektoren von der gaussmatrix als einzelne Vektoren hinschreiben? weil so hab ich es verstanden. ich hoffe ihr könnt mir helfen |
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05.01.2006, 19:31 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Bild & Kern Einer Matrix ich hoffe mal, bis dahin hast du den gauß richtig gemacht:
fast richtig vestanden! das ist ein erzeuger des kerns, also alle linearkombinationen daraus liegen auch im kern! (erinnere homogene LGS)
vervollständige den gauß, indem du die zweite zeile durch 2 teilst und 3 mal auf die erste addierst, dann funktioniert auch der -1-trik und liefert dir eine analoge lösung, eben ein vielfaches von deinem kernerzeuger oben
klar dimension des bildes ist 2 bidl bekommst du als erzeugnis eines basisbildes; nehme also z.b. die standardbasis her und bilde die basisvektoren ab das erzeugnis dieser bilder (und die sind wiederum gerade deine spalten) ist das bild |
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05.01.2006, 19:45 | zerofs2001 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Bild & Kern Einer Matrix gut, das mit dem kern hab ich auch rausbekommen und was wichtiger ist verstanden.
also die dim von meinem kern ist 1?! wenn ich die dimensionsformel nehme komm ich dann auf dim(bild)=2, richtig verstanden?bzw woran erkenne ich denn das die dimension vom kern = 1 ist? dann zu der standartbasis, meinst du nen einheitsvektor oder die ausgangsmatrix oder bin ich da grad total falsch? |
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05.01.2006, 19:57 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
wieviel linear unabhängige erzeuger hat denn dein kern? der kern ist doch ein ganzer raum, eben das erzeugnis deines einen vektors (und das ist ja gerade ein eindimensionaler raum) standardbasis des IR^3 ist {(1/0/0), (0/1/0), (0/0/1)}, aber du kannst auch JEDE beliebige basis nehmen ganz allgemein: f lineare abbildung von V nach W, B={b1,...,bn} Basis von V dann ist Bild(f)=<f(b1), ...........,f(bn)>, <...> ist dabei das erzeugnis oder die lineare hülle mfg jochen ps: für unser auge, es heißt standarD, aber das nur nebenbei |
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05.01.2006, 20:31 | zerofs2001 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
wär dann das bild -1 -3 0 2 1 7 ? oder hab ich mich jetzt geirrt? das mit dem d und t verschwimmt bei mir leciht wenn ich schnell tip...hehe |
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05.01.2006, 20:38 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
kannst du das anders schreiben? 1) nutze bitte mal den formeleditor 2) denke dran, dass das erzeuger sind und dein bild dann das erzeugnis dieser vektoren du kennst doch den unterschied? ansonsten ist dein gedankengang aber richtig...... |
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05.01.2006, 20:59 | zerofs2001 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
also mein gedanken gang A = () da ich mit gauss den kern berechnet hab und kern und bild zusammen wieder A ergeben nehme ich den vektor x1 und x2 als Bild, in diesem Fall: oder müsste ich für das bild die vektoren nehmen aus der linearen hülle die ich mit gauss bekommen hab? wenn ich dich jetzt richtig verstanden habe sind die vektoren aus dem bild erzeugnisse meiner vektoren aus der aufgabenstellung. dann wäre der kern auch ein erzeugnis und wenn ich meine überlegung weiter spinne müsste ich folgende vektoren als bild nehmen, ich hoff du kannst meine verwirrung erlösen |
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05.01.2006, 21:11 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
uffa, nein kern teilraum vom urbildraum der lin. abb. bild teilraum vom zielraum der lin. abb. guck mal:
heißt in deinem fall: bild ist die lineare hülle der vektoren A*e1, A*e2, A*e3 dabei sind die e gerade die standardbasisvektoren und Aei gerade die i-te spalte (nachrechnen) also hast du zunächst: Bild= soweit einigermaßen klar? |
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05.01.2006, 22:10 | zerofs2001 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ich habs mir versucht zu erklären warum die basisvektoren grade das bild ergibt, oder ist das erstmal deine grundlage um das bild zu berechnen? ich hab eben acuh mal versucht nachzuvollziehen wie du drauf gekommen bist, ich bin zu dem schluss gekommen das ich mir nicht sicher bin ob du sie einfach genommen hast oder ob du doch irgendwie rechnerisch drauf gekommen bin ich weiß das ich etwas auf die vektoren anwenden muss. aber ka was. |
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06.01.2006, 00:26 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
nicht nur diese vektoren! sondern die lineare hülle der bilder! beachte doch bitte endlich den unterschied!
ich habe wie schon oft gesagt, die standardbasis des IR^3 genommen und abgebildet...... das das gerade die spalten werden, das darfst du selbst ausrechnen
das deine matrix A deine darstellungsmatrix einer linearen abbildung f ist, heißt doch gerade, dass du f(x) als A*x berechnen kannst |
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