Einfache (?) WK-Rechnung

05.01.2006, 20:43

antykoerpa

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Einfache (?) WK-Rechnung

Hi, habe heute im Zuge einer Prüfungsvorbereitung mal eine Aufgabe gerechnet, und bin mir da nicht ganz sicher, obwohl sie eigentlich nicht so aussieht, als wäre sie wirklich schwer:
"In einem Fachbereich sind 60% der Studenten im Fach A, 40% in Fach B und 20% in beiden Fächern durchgefallen.
a) Wenn jmd. in A durchgefallen ist, wie wahrscheinlich ist er dann in B auch durchgefallen?
b) Wenn jmd. in B durchgefallen ist, wie wahrscheinlich ist er dann auch in A durchgefallen?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er in A oder B durchgefallen ist?"

Ich bin mit c) angefangen. Erstmal ist es glaube ich wichtig, dass man festhält, dass die beiden Ereignisse sich NICHT gegenseitig ausschließen und voneinander unabhängig sind. Meiner Meinung nach berechnet sich diese WK so: $\begin{eqnarray*} 0.6 * 0.4 = 0.24 \end{eqnarray*}$

Bei a) und b) war ich am rätseln. Ich dachte erst, dass es sich um eine bedingte WK handelt. Habe diese Idee aber wieder verworfen und einfach gesagt, dass er mit der Wahrscheinlich keit 0.6 ja schon durchgefallen ist in A und dann mit der Wahrscheinlichkeit 0.2 auch noch in B durchfällt. Analog hab ich das bei b) gemacht.

Kann mir da jemand sagen, ob das richtig ist? Ich steh total auf dem Schlauch, obwohl ich Aufgaben wie diese, sonst eigentlich ohne große Probleme bearbeiten kann. Verwirrend war für mich schon die Tatsache, dass hier 60% + 40% + 20% auftauchen, aber die 20% sind ja schon in den 60% bzw. 40% enthalten.

Danke für Eure Hilfe

05.01.2006, 20:47

JochenX

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erstmal zu c)

Zitat:

c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er in A oder B durchgefallen ist?"

sollte höher sein, als die wahrscheinlichkeit, dass er nur in A durchgefallen ist
was du berechnest ist die wahrscheinlichkeit in A UND B durchgefallen zu sein

berechne lieber die gegenwahrscheinlichkeit; das gegenereignis ist nämlich "student schafft A UND B" und dann kannst du mit deiner unabhängigkeit kommen.....

05.01.2006, 20:51

antykoerpa

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Ok, Student schafft A und B ist $\begin{eqnarray*} 0.4 * 0.6 = 0.24 \end{eqnarray*}$ Dann ist doch die Lösung, dass er in A oder B durchfällt $\begin{eqnarray*} 1 - 0.24 = 0.76 \end{eqnarray*}$ . Korrekt?
Aber was ist mit den anderen Teilaufgaben? Kotzen

Kotzen

05.01.2006, 20:56

JochenX

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huch ich sehe gerade:

da gibts keine unabhängigkeit

Zitat:

"In einem Fachbereich sind 60% der Studenten im Fach A, 40% in Fach B und 20% in beiden Fächern durchgefallen.

dann habe ich oben auch unsinn geredet und du musst das ganze neu überdenken

nimm einfach mal 100 studenten her und bestimme einfach, wieviele nur durch A, wieviele nur durch B, wieviele durch beides und wieviele durch keines gefallen sind

mfg jochen

05.01.2006, 21:03

Abakus

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RE: Einfache (?) WK-Rechnung
Wie kommst du darauf, dass die Ereignisse unabhängig sind? Wenn jemand in einem Fach schlecht ist, ist er es doch oft auch in verwandten Fächern.

Wenn du die Durchgefallenen in A (60%) und B (40%) zusammenzählst und die doppelt gezählten wieder abziehst (20%), kommst du auf den richtigen Prozentsatz der Studenten, die in A oder B durchgefallen sind.

Grüße
Abakus

EDIT: Jochen war schneller.

05.01.2006, 21:04

antykoerpa

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Hmm. steht das nicht schon in der Aufgabe wieviele durch A bzw. B bzw. beide durchgefallen sind, nämlich 60%, 40% und 20%? verwirrt

verwirrt

Ich krieg hier gleich'n Rappel... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich glaub ich raff hier grad nicht mehr gaaanz so viel.

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05.01.2006, 21:12

Abakus

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Betrachte mal:

$\begin{eqnarray*} P(A~\cup~B) = P(A) + P(B) - P(A~\cap~B) \end{eqnarray*}$ .

Grüße
Abakus

EDIT: Schreibfehler entfernt.

05.01.2006, 21:14

JochenX

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Zitat:

nimm einfach mal 100 studenten her und bestimme einfach, wieviele nur durch A, wieviele nur durch B, wieviele durch beides und wieviele durch keines gefallen sind

beachte die kleinigkeiten

100 studenten (100 als bloße annahme, wegen mir setz noch ein % dahinter)

davon sind 20 durch beide gefallen
davon sind .... NUR durch A gefallen
davon sind.....

füll das mal fertig aus

05.01.2006, 21:30

antykoerpa

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$\begin{eqnarray*} P(A) = 0.6 + P(B) = 0.4 + P(A geschnitten B) = 0.6 * 0.4 = 0.24 \end{eqnarray*}$ Und alles summiert ergibt: 1.24 Aber darauf wolltest Du sicher nicht hinaus, richtig?

05.01.2006, 21:48

Abakus

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Ich komme auf folgendes:

$\begin{eqnarray*} P(A) = 0.6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(B) = 0.4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(A~\cap~B) = 0.2 \end{eqnarray*}$

Jetzt die Formel oben anwenden.

Im allgemeinen ist $\begin{eqnarray*} P(A~\cap~B) \neq P(A) \cdot P(B) \end{eqnarray*}$ ; das gilt nur, wenn die Ereignisse unabhängig sind.

Grüße
Abakus

05.01.2006, 21:59

antykoerpa

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1) wie macht man das "geschnitten" Symbol?
2) wie kommst du denn auf 0.2? unglücklich

unglücklich

05.01.2006, 22:04

bil

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Zitat:

Original von antykoerpa
1) wie macht man das "geschnitten" Symbol?

geh einfach bei abakus beitrag auf zitieren ("zitat"). dann kannst du in den code einlesen.

Zitat:

2) wie kommst du denn auf 0.2? unglücklich

unglücklich

das gilt doch laut angabe.

gruss bil

05.01.2006, 22:08

antykoerpa

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Gut, dann ist die WK dafür, dass er in A oder B durchgefallen ist natürlich $\begin{eqnarray*} 0.6 + 0.4 - 0.2 = 0.8. \end{eqnarray*}$ Das ist nun auch nicht merh verwunderlich, weil ich jetzt erst verstanden habe, warum die beiden Ereignisse NICHT unabhängig voneinander sind smile

smile

Und wie erschlage ich die anderen beiden Teilaufgaben?

EDIT: latex-Tags überarbeitet

05.01.2006, 22:34

Abakus

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In a) und b) handelt es sich um bedingte Wahrscheinlichkeiten.

Die Formel dafür ist:

$\begin{eqnarray*} P(A|B) = \frac{P(A~\cap~B)}{P(B)} \end{eqnarray*}$ .

Grüße smile

smile

Abakus

05.01.2006, 22:42

antykoerpa

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Gut, danke, dann ist also die Antwort für a) $\begin{eqnarray*} \frac{0.2}{0.6} = 0.33 \end{eqnarray*}$ ?
Und die für b) $\begin{eqnarray*} \frac{0.2}{0.4} = 0.5 \end{eqnarray*}$ ?
Danke!!
Ich wollte das von Anfang an mit nem Wahrscheinlichkeitsbaum (Bayes) lösen.
Ich hätte bei der Wurzel angefangen und da hätte ch schon nicht mehr weiter gewusst, wie ich die Pfade hätte verteilen müssen. Hat da jemand von euch einen Vorschlag? ICh kann ja z.B. schlect drei Pfade davon weggehen lassen, an den ersten 0.6, an den zweiten 0.4 und an den dritten 0.2 schreiben. Das ist ja mehr als 100%!?

05.01.2006, 22:48

Abakus

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Ja, beides korrekt.

Grüße smile

smile

Abakus

EDIT: zur Baumfrage: Du verzweigst oben mit $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \bar{A} \end{eqnarray*}$ . An die beiden Äste kommen dann 0.6 und 0.4 als Wahrscheinlichkeiten. In der nächsten Ebene verzweigst du und betrachtest B. Diesmal stehen an den Ästen die Übergangswahrscheinlichkeiten, das sind genau die jeweiligen bedingten Wahrscheinlichkeiten.

Durch Multiplikation entlang den Ästen von deinem Baum kannst du dann die Wahrscheinlichkeiten für $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ usw. berechnen.

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