Wert einer Potenzreihe

05.01.2006, 20:58

Master1709

Wert einer Potenzreihe

Guten Abend zusammen,

Ich habe bei folgender Aufgabe ein klitzekleines Problem.
Vielleicht könnt ihr mir ja behilflich sein.

Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihe und danach den Wert für $\begin{eqnarray*} \mid z\mid < R \end{eqnarray*}$ .

Hier die Potenzreihe:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~[(3n + 1) (2z)^{3n}] \end{eqnarray*}$ .

Dass der Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} R = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \end{eqnarray*}$ ist, folgt aus dem Wurzelkriterium.

Wie mache ich jetzt weiter? Kann ich das irgendwie auf die geometrische Reihe mit der Formel $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1 - q} \end{eqnarray*}$ zurückführen?

Vielen Dank für eure Hilfe,

Master1709

05.01.2006, 21:22

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RE: Wert einer Potenzreihe

Zitat:

Original von Master1709
Dass der Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} R = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \end{eqnarray*}$ ist, folgt aus dem Wurzelkriterium.

Ist aber falsch. Oder hast du dich bei der Reihe verschrieben und meinst

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~[(3n + 1) (2z^3)^n] \end{eqnarray*}$

?

05.01.2006, 21:30

Master1709

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Danke für den Hinweis, die Reihe stimmt so, blöder Rechenfehler ... da habe ich wohl Schläfer

...
Richtig ist $\begin{eqnarray*} R = \frac{1}{\sqrt[3]{8}} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .
Hoffe ich doch, wenn ich mich noch einmal verrechnet habe, dann zur Hölle mit mir Augenzwinkern

Wie kann ich denn den zweiten Teil lösen?

Vielen Dank für deine Hilfe ...

05.01.2006, 21:33

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Für $\begin{eqnarray*} |z|<R \end{eqnarray*}$ konvergiert die Potenzreihe absolut, und ist dort auch integrierbar. Das solltest du hier mal versuchen, sieht vielversprechend aus.

05.01.2006, 21:37

Master1709

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Da ich zurzeit "Analysis I"-Student bin und das Integrieren ja offiziell erst in Ana II eingeführt wird, muss es noch eine andere Lösung geben? Hast du vielleicht noch eine andere Idee, auf was ich das Ganze zurückführen kann. Die Summe muss ja durch irgendeine Formel darstellbar sein oder?

Viele Grüße

05.01.2006, 21:48

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Schade, das wäre der kürzeste Weg gewesen. Aber es geht auch anders: Zunächst mal ist

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty ~ (3n+1) (2z)^{3n} = 3\sum_{n=0}^\infty ~ (n+1) (2z)^{3n} - 2\sum_{n=0}^\infty ~ (2z)^{3n} \end{eqnarray*}$ .

Die zweite Summe kriegst du mit der geometrischen Reihe in den Griff. Das $\begin{eqnarray*} (n+1) \end{eqnarray*}$ im Reihenglied der ersten Reihe wird man über das vielleicht ungewöhnlich anmutende $\begin{eqnarray*} n+1 = \sum_{k=0}^n ~ 1 \end{eqnarray*}$ los:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty ~ (n+1) (2z)^{3n} = \sum_{n=0}^\infty ~ \sum_{k=0}^n ~ (2z)^{3n} = \sum_{k=0}^{\infty} ~ \sum_{n=k}^\infty ~ (2z)^{3n} = \sum_{k=0}^{\infty} ~ (2z)^{3k} \cdot \sum_{n=0}^\infty ~ (2z)^{3n} \end{eqnarray*}$

Die Umordnung der Reihe durch Vertauschung der n- und k-Summation ist für |z|<R erlaubt, da die Reihe da wie gesagt absolut konvergiert.

05.01.2006, 22:01

Master1709

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Jo, vielen Dank, tolle Lösung! So sollen wir das, glaube ich eher lösen ...

Gruß, Master 1709 Augenzwinkern

05.01.2006, 22:21

Master1709

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Also müsste, wenn ich mich nicht irre und ich mich nicht schon wieder verrechnet habe,

$\begin{eqnarray*} \frac{1 + 16z^{3}}{(1 - 8z^{3})^{2}} \end{eqnarray*}$

als Lösung folgen, natürlich $\begin{eqnarray*} \frac{1 + 16z^{3}}{(1 - 8z^{3})^{2}} \end{eqnarray*}$ .

--------------------------------zusammengefügt----------------------------------

arrrg ... kopierem sollte gelernt sein Augenzwinkern

natürlich $\begin{eqnarray*} \forall \mid z \mid < \frac{1}{2} = R \end{eqnarray*}$ .

edit 20: editieren auch, ne sepp *g*

05.01.2006, 22:45

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Stimmt.

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