LGS mit inverser Matrix lösen (Ax=b)

12.05.2008, 11:22

Wurstwasser

LGS mit inverser Matrix lösen (Ax=b)

Hallo,

ich habe mir mal ein LGS aufgestellt und wollte das mittels inverser Matrix lösen. Ich schreibe mal knapp auf, wie ich das verstanden habe.
Man kann ja ein LGS als Matrixprodukt darstellen, Ax=b, wobei b der Lösungsvektor ist (also die rechte Seite im LGS), A die Koeffizientenmatrix und b der Lösungsvektor, also die Unbekannten. Das ist mir auch soweit klar, denn wenn man das einsetzt und Matrixmultiplikation betreibt, bekommt man wieder das LGS.

Um x zu bekommen, müssen wir die Gleichung also mit A^-1 malnehmen, also mit der inversen Matrix. x ist also b*A^-1. Obwohl... Hier schon meine erste Frage: Ist x nicht A^-1*b? (Denn Matrixmultiplikation ist ja nicht kommutativ, und bei Matrixmultiplikation muss ja die Zahl der Spalten der ersten Matrix gleich der Zahl der Zeilen der zweiten sein). Wie steht es hier um die Kommutativität, die wir bei einer einfachen Gleichung mit Zahlen aus R ja auch hätten?

Was also zu tun war und was ich gemacht habe:

1. Inverse Matrix der Koeffizientenmatrix bilden (Gauss-Elimination)
2. Multiplikation der inversen Matrix mit dem Lösungsvektor.

Mein LGS:

3x -y +z =4
-x +2y +4z =3
y +z = 1

A:
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 3 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Die inverse Matrix A^-1 ist meinen Berechnungen zufolge:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{24} \begin{vmatrix} 8 & 0 & 2 \\ -3 & -9 & 9 \\ 3 & 9 & -15 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

A^-1 * b:
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 8 & 0 & 2 \\ -3 & -9 & 9 \\ 3 & 9 & -15 \end{vmatrix}\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
ergibt den Lösungsvektor:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{13}{12} \\ -\frac{3}{4} \\ \frac{5}{6} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und das geht natürlich nicht auf, wie man schon sehr leicht an der dritten Gleichung "y+z=1" sehen kann.

Woran liegts? Ich hoffe, ich habe das grundsätzlich verstanden und habe "nur" falsch gerechnet...

Danke

12.05.2008, 11:54

Bjoern1982

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Zitat:

Um x zu bekommen, müssen wir die Gleichung also mit A^-1 malnehmen, also mit der inversen Matrix. x ist also b*A^-1. Obwohl... Hier schon meine erste Frage: Ist x nicht A^-1*b? (Denn Matrixmultiplikation ist ja nicht kommutativ, und bei Matrixmultiplikation muss ja die Zahl der Spalten der ersten Matrix gleich der Zahl der Zeilen der zweiten sein)

Warum bringst du dann überhaupt erst b*A^-1 ins Spiel wenn du diesen Vorschlag danach direkt entkräftest verwirrt

Eine andere Begrüdung wäre dass durch Rechtsmultiplikation auf beiden Seiten links keine Einheitsmatrix E entstehen würde wegen :

AxA^-1=bA^-1

Das erreicht man nur mit Linksmultiplikation:

A^-1Ax=A^-1*b <=> Ex=A^-1*b <=> x = A^-1*b

Zitat:

A^-1 * b:
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 8 & 0 & 2 \\ -3 & -9 & 9 \\ 3 & 9 & -15 \end{vmatrix}\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier hast du auch den Bruch vergessen - danach aber wohl wieder mit Bruch gerechnet. Alles in allem wirst du dich dann wohl bei deiner Inversen verrechnet haben, was man aber nur mit genauem Rechenweg nachvollziehen kann.

12.05.2008, 12:35

Wurstwasser

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OK, danke, ist klar. Ich hatte in der letzten Matrixmultiplikation zwar den Bruch verwendet, aber falsch gerechnet. (habe mich beim Falk-Schema vertan). Aber auch das Inverse ist nicht korrekt. Das gehe ich nochmal mittels Gauss-Elim. in der erw. Koeffizientenmatrix in Ruhe durch. Das richtige Ergebnis für A^-1 habe ich mir mit Mathematica schon mal ausgeben lassen. Lösungsvektor ist damit dann (1,0,1) und das passt auch.

12.05.2008, 12:53

Wurstwasser

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OK, habe es genau wie Mathematica ({{1/4, -1/4, 3/4}, {-1/8, -3/8, 13/8}, {1/8, 3/8, -5/8}}) herausbekommen. Ich muss vorher irgendwo in der Inversion der Matrix durcheinandergekommen sein. Und zwar beim Aufwärtsrechnen von der unteren Dreiecksmatrix aus. Da hatte ich die letzte Zeile richtig, aber die beiden ersten nicht mehr. Na ja, Brüche, Überblick waren das Problem, habe nicht ausführlich genug hingeschrieben, wie immer, man will ja Papier sparen smile

Und das geht dann am Ende schief.
Danke jedenfalls nochmal.

12.05.2008, 12:56

Bjoern1982

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Keine Ursache =)

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