Quadriken, wie bestimme ich den Mittelpunkt?

12.05.2008, 13:15	praunss	Auf diesen Beitrag antworten »
Quadriken, wie bestimme ich den Mittelpunkt? Hi, hab ne Frage zu Quadriken (Ich frage das hier , weil wirs in Lineare Algebra derzeit machen) Wir sollen Quadriken transofmieren und beschreiben können, transformieren kann ich, nur eins macht mir probleme: wie finde ich den Mittelpunkt? Habe ich eine Quadkrik (zb ellipse) auf normalform gebracht ists klar, dann ist es der Ursprung. Aber wenn ich zb $\begin{eqnarray} 5x^2+5y^2-2xy+10x+2y=6 \end{eqnarray}$ als quadrik habe, wie finde ich hier den mittelpunkt der ellipse? weiß das jemand`? danke
13.05.2008, 17:54	praunss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quadriken, wie bestimme ich den Mittelpunkt? Weiß das wirklich niemand?
14.05.2008, 00:15	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ist schon etwas her bei mir, sprich ich musste alles in meinem alten LA Skript nachschlagen. Dort ist als notwendige und hinreichende Bedingung für einen Mittelpunkt angegeben: $\begin{eqnarray} Am+b=0 \end{eqnarray}$ wobei m der Ortsvektor des Mittelpunkts ist. Die Herleitung ist ne Seite lang so das ich das jetzt nicht schreiben will aber ich hoffe einmal das hilft dir. A ist die Matrix des quadratischen Teils und b der Vektor des linearen Teils.
14.05.2008, 10:26	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich will die etwas fragmentarischen Bemerkungen von kiste einmal ausführen. Mit den Festsetzungen $\begin{eqnarray} u = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \, , \ \ S = \begin{pmatrix} 5 & -1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix} \, , \ \ a = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} \, , \ \ \alpha = -6 \end{eqnarray}$ kann man die Quadrik durch $\begin{eqnarray} \text{()} \ \ \ u^t S u + 2 a^t u + \alpha = 0 \end{eqnarray}$ beschreiben (das hochgestellte $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ steht für das Transponieren einer Matrix). Im ersten Schritt bestimmst du die Spalte $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ durch das Lösen von $\begin{eqnarray} Sm = -a \end{eqnarray}$ Das geht jedenfalls dann, wenn $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ invertierbar ist, also nicht den Eigenwert 0 besitzt. Dieses $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ ist später der "Mittelpunkt" des neuen Koordinatensystems. Wenn die Quadrik eine Ellipse darstellt, ist $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ also der Mittelpunkt der Ellipse. [attach]8144[/attach] Im zweiten Schritt bestimmst du aus zwei normierten Eigenvektoren von $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ als Spalten die orthogonale Matrix $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ . Die Eigenvektoren geben dir die Richtungen der Hauptachsen an und $\begin{eqnarray} D = T^t S T \end{eqnarray}$ ist eine Diagonalmatrix. Die Transformation $\begin{eqnarray} u = Tu' + m \end{eqnarray}$ rechnet dir die neuen Koordinaten $\begin{eqnarray} x',y' \end{eqnarray}$ der Spalte $\begin{eqnarray} u' \end{eqnarray}$ in die alten Koordinaten $\begin{eqnarray} x,y \end{eqnarray}$ um. Und durch Einsetzen in $\begin{eqnarray} \text{()} \end{eqnarray}$ erhältst du die Normalform: $\begin{eqnarray} \left(Tu' + m \right)^t S \left(Tu' + m \right) + 2a^t \left(Tu' + m \right) + \alpha = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u'^{\, t} \left( T^t S T \right) u' + u'^{\, t} T^t (S m) + (m^t S) T u' + m^t (S m) + 2 a^t T u' + 2 a^t m + \alpha = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u'^{\, t} D u' - u'^{\, t} T^t a - a^t T u' - m^t a + 2 a^t T u' + 2 a^t m + \alpha = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u'^{\, t} D u' - u'^{\, t} T^t a + a^t T u' - m^t a + 2 a^t m + \alpha = 0 \end{eqnarray}$ Nun gilt $\begin{eqnarray} (a^t T u')^t = a^t T u' \end{eqnarray}$ (denn das Matrizenprodukt ist ja ein Skalar), also $\begin{eqnarray} u'^{\, t} T^t a = a^t T u' \end{eqnarray}$ , und schließlich ebenso $\begin{eqnarray} m^t a = a^t m \end{eqnarray}$ . Setzt man also noch zur Abkürzung $\begin{eqnarray} \alpha' = a^t m + \alpha \end{eqnarray}$ , so folgt $\begin{eqnarray} u'^{\, t} D u' + \alpha' = 0 \end{eqnarray}$ Und das ist die gewünschte Normalform.
14.05.2008, 13:36	praunss	Auf diesen Beitrag antworten »
ahhh...herrlich genau das hat mir gefehlt ich konnte durch ne affine transformation das ganze auf normalform bringen, aber der mittelpunkt... alles klar, danke

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