Faktor- und Dualraum

06.01.2006, 21:43

vektorraum

Faktor- und Dualraum

Hi!

Ich habe da noch eine Aufgabe, bei der ich überhaupt nicht durchblicke:

Sei W Teilmenge von V ein k-linearer Unterraum des K-Vektorraums V und $\begin{eqnarray*} \wp : V \rightarrow V/W \end{eqnarray*}$ die natürliche Abbildung auf den Faktorraum.
Zeigen Sie, (V/W)* kann als Unterraum des dualen Raums V* aufgefasst werden. Beschreiben Sie diesen Unterraum und berechnen Sie die Dimension des Faktorraums V*/(V/W)*

Und dann für die gleiche Situation soll ich zeigen, dass die folgende Einschränkungsabbildung wohldefiniert, k-linear und bijektiv ist:

$\begin{eqnarray*} V^*/(V/W)^* \rightarrow W^*, l+(V/W)^* \rightarrow l/w \end{eqnarray*}$

Also mit den Begriffen weiß ich schon was anzufangen, aber die Kombination von Faktorraum und Dualraum - ist mir im Moment noch nicht so richtig klar - hab auch noch keinen gefunden, der da einen Plan hat.
Ich hoffe mal, dass mir hier einer helfen kann :-)
Danke schonmal!

06.01.2006, 22:49

Abakus

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RE: Faktor- und Dualraum
Im ersten Teil musst du über eine (kanonische, vorzugsweise injektive) Abbildung $\begin{eqnarray*} (V/W)^{*} \rightarrow V^{*} \end{eqnarray*}$ nachdenken.

Im zweiten Teil sind bestimmte Eigenschaften einer Abbildung zu zeigen. Die Definition dieser Abbildung versteh ich hier so nicht. unglücklich

Wie ist dieses $\begin{eqnarray*} w/l \in W^{*} \end{eqnarray*}$ definiert? Meinst du vielleicht $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ restringiert auf $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ ?

Grüße Abakus

08.01.2006, 13:37

vektorraum

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RE: Faktor- und Dualraum
Hi Abakus!

Also ersteres hilft mir vielleicht weiter - ich werd es mal ausprobieren...

Bei der zweiten Abbildung: Nun, so wie die da steht, ist die bei uns auch angegeben. Ich hab aber die Vermutung, dass unser Prof sich da mal wieder vertippt hat und die Abbildungsvorschrift vielleicht falsch ist?

Hat jemand ne Idee, wie die vlt richtig lauten könnte?

08.01.2006, 13:55

Abakus

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RE: Faktor- und Dualraum
Die Abbildungsvorschrift lautet (vermutlich) wie folgt:

$\begin{eqnarray*} V^*/(V/W)^* \rightarrow W^*, l+(V/W)^* \rightarrow l|_W \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} l|_W : W \rightarrow K \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} l|_W(v) := l(v) \end{eqnarray*}$ .

Die Bedeutung von "Wohldefiniertheit" ist dir klar und wieso du sie brauchst?

Grüße Abakus

09.01.2006, 16:01

Sunwater

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hi...

ich hab ja die gleichen Aufgaben...

meine erste Frage: was ist die natürliche Abbildung? - die Einbettung von V in V/W?

dann sind die Elemente von V* und (V/W)* doch Abbildungen oder?
also muss ich quasi eine Abbildung finden, die eine Abbildung auf eine Abbildung abbildet?

kann man das mit dem Unterraum auch übers Unterraumkriterium machen?

... ich mag Duale nicht... und Faktorraum auch nicht... und beides in einer Aufgabe ist mir echt ne Spur zu hoch... [ nur mal so als Anmerkung *g* ]

09.01.2006, 19:11

vektorraum

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Hi!

@abakus: Wohldefiniert heißt doch, wenn ich das richtig verstanden habe, dass wir zeigen sollen, dass die Abbildungsvorschrift unabhängig von der Wahl eines Repräsentanten ist, oder!?!?

Mit natürliche Abbildung ist doch sicherlich V in V/W gemeint.

@sunwater: V* und (V/W)* sind Abbildungen - das Problem ist nur, dass man sich das nun nicht mehr so richtig vorstellen kann.
Hab jetzt auch schon ewig dran rumgerätselt, wie das nun richtig gemeint sein soll...

Irgendwie scheint die Aufgabe nicht ganz einfach zu sein smile

09.01.2006, 19:43

Abakus

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Zitat:

Original von Sunwater
dann sind die Elemente von V* und (V/W)* doch Abbildungen oder?
also muss ich quasi eine Abbildung finden, die eine Abbildung auf eine Abbildung abbildet?

Genau. Ein Einstieg könnte sein:

$\begin{eqnarray*} F : (V/W)^{*} \rightarrow V^{*} \end{eqnarray*}$ mit: $\begin{eqnarray*} F(\lambda) = \mu \mbox{ und } \mu(v) = \lambda(v + W) \mbox{ bzw. } (F(\lambda))(v) = \lambda(v + W) \end{eqnarray*}$

Grüße Abakus

09.01.2006, 20:06

Sunwater

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aber wie soll ich überhaupt zeigen, dass (V/W)* ein Unterraum ist? - ich meine gibt es noch eine andere Möglichkeit als das Unterraumkriterium?

ich hatte mir schon mal überlegt das wirklich mit Unterraumkriterium zu machen...

also: $\begin{eqnarray*} 0 \in (V/W)* \end{eqnarray*}$ ?:

so und jetzt weiß ich nicht, ob das die Nullabbildung von $\begin{eqnarray*} (V/W) \to K \end{eqnarray*}$ ist, wobei K der Körper sein soll... und wie ich zeigen soll, dass die in (V/W) liegt.

und was ist eigentlich mit Beschreiben des Unterraums gemeint...

sowas in der Art: Die Menge aller Elemente x mit der Eigenschaft y...?

09.01.2006, 20:24

Abakus

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Zitat:

Original von Sunwater
aber wie soll ich überhaupt zeigen, dass (V/W)* ein Unterraum ist? - ich meine gibt es noch eine andere Möglichkeit als das Unterraumkriterium?

Das ist ja kein Unterraum im Wortsinne. Dass er als Unterraum aufgefasst werden kann, bedeutet, dass es eine bestimmte injektive (lineare) Abbildung nach V* gibt und der Bildraum dieser Abbildung ist natürlich ein Unterraum.

Wenn du zeigen könntest, dass Bildraum und Ursprungsraum isomorph sind, könnte man (V/W)* als Unterraum von V* "auffassen", denn dann hätten Bildraum und Ursprungsraum ja dieselbe Struktur (das sagt der Begriff Isomorphie aus).
(Der Lösungsansatz dazu steht in meinem vorherigen Posting.)

Grüße Abakus

09.01.2006, 21:30

Sunwater

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das hilft mir schonmal sehr zum Verständnis der Aufgabe...

kann ich zeigen, dass zwei Vektorräume isomorph sind indem ich zeige, dass es eine bijektive Abbildung zwischen den beiden gibt?

also müsste ich insbesondere zeigen, dass

Bild(F) = V* ist ? ( womit F dann ja surjektiv wäre und injektiv ist es schon, glaube ich )

09.01.2006, 23:14

Abakus

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Zitat:

Original von Sunwater
kann ich zeigen, dass zwei Vektorräume isomorph sind indem ich zeige, dass es eine bijektive Abbildung zwischen den beiden gibt?

Ja, jedoch muss diese Abbildung auch noch linear sein (damit sie die Vektorraum-Struktur rüberbringt).

Zitat:

also müsste ich insbesondere zeigen, dass

Bild(F) = V* ist ? ( womit F dann ja surjektiv wäre und injektiv ist es schon, glaube ich )

Die Surjektivität auf V* wirst du iA nicht hinkriegen (außer in trivialen Fällen), weil V/W schon nicht die volle Struktur von V hat (hat ja meist kleinere Dimension). Demnach kann der Dualraum diese Struktur dann iA auch nicht widerspiegeln.

Es ist jedoch $\begin{eqnarray*} Bild~F \cong (V/W)^{*} \end{eqnarray*}$ (Das ist zumindest meine Vermutung).

Die ganzen Eigenschaften von F wie Linearität, Injektivität usw. wären zunächst nachzuweisen (= einige Schreibarbeit). Dabei sollten weitere Ideen kommen.

Grüße Abakus smile

10.01.2006, 15:01

Sunwater

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die Eigenschaften dürfen wir schneller zeigen...

wir wissen, dass $\begin{eqnarray*} g: V \to V/W \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung ist und surjektiv...

und wir haben gezeigt, dass das Dual einer linearen Abbildung ( hier quasi dein F ) auch eine lineare Abbildung ist und das Dual einer surjektiven Abbildung injektiv ist... - aber weiter komm ich trotzdem nicht...

was soll ich denn mit F machen?

irgendwie steh ich total auf dem Schlauch.

10.01.2006, 20:24

Abakus

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OK soweit, wenn du diesen Satz bereits hast und den nicht erst beweisen musst, weißt du, dass Bild F ein Unterraum von V* ist, denn F ist danach linear und injektiv (den Satz zu zitieren reicht dann aus). Freude

Als nächstes dann: beschreiben Sie diesen Unterraum und berechnen Sie die Dimension des Faktorraums V*/(V/W)*.

Zeige nun, dass dieser Unterraum von V* aus genau den Funktionalen besteht, die W auf die 0 abbilden (d.h. der Unterraum ist der Annullator von W). Dazu kannst du direkt die Definition von F verwenden:

$\begin{eqnarray*} \mbox{ Sei }w \in W~ und~ \mu \in F[(V/W)^{*}]\mbox{, dann existiert ein }\lambda \in (V/W)^{*}\mbox{ mit }F(\lambda) = \mu \mbox{. Damit gilt: } \mu(w) = \lambda(w + W) = \lambda(0 + W) = 0. \end{eqnarray*}$

Umgekehrt: es gelte $\begin{eqnarray*} \mu \in V^{*}~ und~ \mu(w)=0 \mbox{ für alle } w \in W. \mbox{ Dann ... usw. (du musst zeigen, dass } \mu \in F[(V/W)^{*}] \mbox{ ist.}) \end{eqnarray*}$

Für den Dual- und Faktorraum solltest du einige Dimensionsformeln haben.

Beim zweiten Teil zeige die Eigenschaften direkt, also Wohldefiniertheit, Linearität, und Bijektivität.

Grüße Abakus smile

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